【GDOI 2016模拟3.9】暴走的图灵机

本文探讨了在特定操作序列下,如何计算两个字符串LL和RR中包含匹配子串的数量,并通过分析和矩阵运算解决大规模操作情况下的问题。

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题目描述

你有lr两个字符串,初始l="0",r="1",每轮操作定义如下。

  • r变成原来的l+原来的r,这里的+表示将两个字符串连接起来
  • l变成原来的l

给定一个长度为m的匹配串s,问操作n次后,l中包含了多少个s作为子串,答案对p取模。

n109,m104,0<p109


分析

类似于斐波那契数的斐波那契串,名字是我随便取的。
考虑某轮操作完得到的新串S,有S=l+r
那么S所包含的匹配串数(记为VS),有VS=Vl+Vr+C
其中C表示跨过l,r分界线的匹配串数。
那么问题就变成如何求C
实际上考虑匹配串长度只有104,我们只要保留l串的后m1位,以及r串的前m1位,将它们拼在一起做一次KMP就可以的得到了。

但是这里n很大。
考虑假如不存在C,求这个东西可以用矩阵乘法。
这里存在C了,但是当lr的长度超过2m2时,两者的前m1个字符和后m1个字符就基本不会变了(只会有四组可能的字符)。
于是我们先暴力算lr,直到它们两者的长度都至少为2m2
那么这里只需要找到循环节,算出循环那么多次的转移矩阵,利用矩阵乘法求出Vln就可以了。

时间复杂度O(km+33logn),其中k是满足fibk2m2最小的一个。
空间复杂度O(m)

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