数学建模-TOPSIS优劣解距离法原理笔记

这里是根据清风数学建模视频课程整理的笔记，我不是清风本人。想系统学习数学建模的可以移步B站搜索相关视频

TOPSIS简介

​ TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。主要用来评价优劣。

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步骤

第一步 将原始矩阵正向化

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）	指标 越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）	指标 越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物

1、极小型指标→极大型指标

• $max-x$​

• 若所有元素均为正数，也可以用$\frac{1}{x}$​​

2、中间型指标→极大型指标

{ x i j } \{x_{ij}\} { xij​}​​是一组​中间型指标序列，且最佳的数值为$x_{max}$，那么正向化公式如下：

M = m a x { ∣ x i − x m a x } \large M=max\{|x_i-x_{max}\} M=max{ ∣xi​−xmax​}​

$\overline{x_i}=1-\frac{|x_i-x_{max}|}{M}$​​

如下表：

M = m a x { ∣ 6 − 7 ∣ , ∣ 7 − 7 ∣ , ∣ 8 − 7 ∣ , ∣ 9 − 7 } = 2 \large M=max\{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7\}=2 M=max{ ∣6−7∣,∣7−7∣,∣8−7∣,∣9−7}=2

3、区间型指标→极大型指标

{ x i j } \{x_{ij}\} { xij​}​是一组区间型指标序列，且最佳的数值为$[a,b]$​，那么正向化公式如下：

M = m a x { a − m i n { x i } , m a x { x i } − b } \large M=max\{a-min\{x_i\},max\{x_i\}-b\} M=max{ a−min{ xi​},max{ x