Manacher 学习笔记

题面

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，找到所有的满足 $s_l\dots s_r$ 是回文串的数对 $(l,r)$。

解法

我们可以设 $d_i$ 为以 $i$ 为中心的回文串长度，设 $l,r$ 为目前发现的 最靠右的 回文串的左右下标。

我们可以递推的在已知之前的 $d_1\dots d_{i-1}$ 的情况下求解 $d_i$。
分情况讨论。

情况一：当前的 $i$ 在已知最右回文串以外，也就是 $i>r$ 时，我们应用朴素算法求解 $d_i$。

情况二：当前的 $i$ 在已知最右回文串以内，也就是 $i\le r$ 时，我们发现其实可以令下标 $j$ 为 $i$ 关于当前回文串轴对称的结果。

因为一个回文串有一个对称轴，所以一个回文串内部也会有一个下标与已知下标对称。

所以在大部分情况下，$d_i=d_j$。

但是我们遇到了一个特殊状况。在 $d_j$ 所对应的回文串已经超出了当前的最右回文串呢？

此时我们可以先取到当前最右回文串的边界，换句话说，就是让 $d_i=(r-i+1)$，然后再用朴素算法增加 $d_i$。

时间复杂度

我们可以知道，$r$ 是单调上升的，因为 $r$ 只会从 $1$ 上涨到 $n$，所以时间复杂度为 $O(n)$。

例题

UVa #11475 “Extend to Palindrome”
「国家集训队」最长双回文串