从马尔科夫链到吉布斯采样与PageRank

马尔科夫链表示state的链式关系，下一个state只跟上一个state有关。
吉布斯采样通过采样条件概率分布得到的样本点，近似估计概率分布$P(z)$。PageRank通过节点间的连接，估计节点的重要程度$r$。吉布斯采样中，state代表不同的样本点，state的分布就是$P(z)$。PageRank中，state代表不同节点的分数，state的分布就是要求的$r$。不论吉布斯采样还是PageRank，state的分布本质上都是马尔科夫链，而最后都希望state的分布是独一并且稳定的。

Markov Chain

介绍

上图表示了一个典型的马尔科夫链，每个城市A、B、C代表不同的state。该图描述了不同state间的转移变化关系。并且下一个时间的state只和上一个时间的state有关。

稳定态

想象上述的马尔科夫链，state不停的变化，我们可以求出不同state的概率，也就是state的概率分布。

最简单的办法是列出不同state的概率公式，然后解线性方程组求解，如下：

可是，单一稳定的state不一定存在，例如下面两种情况：

• Spider trap，$a \Leftrightarrow b$，相当于状态被困在某区域（多个状态）。
  • Dead End，$a \Rightarrow b$，相当于状态被困在单个状态中。

  那么，什么情况下才有单一稳定的state的存在呢？

  单一稳定的state分布的存在的充分条件是：对于任意两个state$s_1,s_2$，它们之间的状态转移概率不为0。也就是$p(s_1|s_2)>0$。也就是说，state间（包含自身）都有连接，这样的话便存在单一稳定的state分布。

  Gibbs Sampling

  介绍

  Gibbs Sampling遇到的问题是：在已知$P(z_i|z_1,...,z_{i-1},z_{i+1},...z_{N})$分布的情况下，求变量$P(z) (z = {z_1,...,z_N})$的分布。

  Gibbs Sampling的解决办法是：设置外循环$t$，遍历采样点数；设置内循环$k$，遍历特征数，对于每一个特征值$z_k^t$，根据分布$z_k^t \sim P(z_k = z_k^t | z_1 =z_1^t, z_2 =z_2^t,...)$采样$z_k^t$。最后，根据${z^1,z^2,z^3,...}$得到$P(z) (z = {z_1,...,z_N})$的分布。

  

  Gibbs Sampling与Markov

  吉布斯采样的数据${z^1,z^2,z^3,...}$相当于马尔科夫链中不同的state（因为$z^t$只和$z^{t-1}$有关）。如果马尔科夫链存在单一且稳定的状态分布，那么就可以通过采样求出$P(z) (z = {z_1,...,z_N})$。

  下面，分两个步骤证明：

  1. Gibbs Sampling存在单一且稳定的状态分布。
  2. Gibbs Sampling单一且稳定的状态分布就是$P(z)$。

  Gibbs Sampling中条件概率没有0值确保了Gibbs Sampling存在单一且稳定的状态分布。
  

  根据概率公式，可推导Gibbs Sampling单一且稳定的状态分布就是$P(z)$。
  

  Page Rank

  介绍

  Page Rank的哲学是：一个点的重要性跟这个点的in-link有关，不同的in-link权重不一样，score越大的节点对应的in-link也就越重要。
  令节点的score向量为$r$，节点的邻接矩阵为$M$。那么，$r$和$M$的关系可写作：
  

  $$r = Mr$$

  示例如下：
  

  这个例子中，可以把矩阵$M$和向量$r$相乘当做$M$的列以向量$r$为权重进行线性组合，矩阵$M$同一列的不同行代表该节点向其他节点的分发连接。这样理解起来就比较清晰了。

  $r$的求解可以使用特征值-特征向量分解，最大特征值对应的特征向量即是$r$。

  稳定性

  $r$的值在满足特定情况下才是单一且稳定的。

  实际计算Page Rank中，需要增加一个条件：每个节点都有$\frac{1}{N}$的概率变换到任何其他节点状态。

  原来的式子是：

  $$r = Mr$$

  考虑稳定性后的式子是：

  $$\begin{split} A &= \beta M + (1-\beta) \frac{1}{N} \mathbf{1} \mathbf{1}^T \\ r &= Ar \end{split}$$

  示例如下：

  

  稀疏计算

  在上面的计算公式中，矩阵$A$是稠密的，空间复杂度是$O(N^2)$，占得空间很大。

  因此，改进计算如下：

  $$\begin{split} A &= \beta M + (1-\beta) \frac{1}{N} \mathbf{1} \mathbf{1}^T \\ r &= Ar \\ r &= \beta M r + \frac{1-\beta}{N} \end{split}$$