代码随想录算法训练营第四十八天 | 树形dp

198.打家劫舍

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

状态：看了“决定dp[i]的因素才做出来"。

思路

当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。

所以这里就更感觉到，当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动规的递推公式。

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

2. 确定递推公式

   决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

   如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

   如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）

   然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

3. dp数组如何初始化

   从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

4. 确定遍历顺序

   dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

5. 举例推导dp数组

   以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。红框dp[nums.size() - 1]为结果。

   

   代码

   class Solution {
   public:
       // dp[i]有两种：若偷第i个房间，则第i-1个房间不偷，dp[i] = dp[i - 2] + nums[i];
       //             若不偷第i个房间，则dp[i] = dp[i - 1]
       // 故 dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
       int rob(vector<int>& nums) {
           if(nums.size() == 1) return nums[0];
           if(nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);
   
           vector<int> dp(nums.size() + 1, 0);
           dp[0] = nums[0];
           dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
   
           for(int i = 2; i < nums.size(); i++){
               dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
           }
   
           return dp[nums.size() - 1];
       }
   };
   

213.打家劫舍II

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

状态：不会做。

思路

因为成环了，所以数组的第一个元素和最后一个元素不能同时取得，只能取第一个或取最后一个或二者都不取。

• 情况一：考虑不包含首尾元素，即二者都不取

  

• 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素，即只取第一个元素

  

• 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素，即只取最后一个元素

  

注意这里用的是"考虑"，如情况三，虽然考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。

情况二 和 情况三 都包含情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。也就是用上一题的方法在数组的不同范围各跑一遍取最大值。

代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 1) return nums[0];
        if(nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);

        int res1 = robRange(nums, 0, nums.size() - 2);
        int res2 = robRange(nums, 1, nums.size() - 1);
        return max(res1, res2);
    }

    int robRange(vector<int>& nums, int start, int end) {   // 上一题的代码，加入start和end
        if(nums.size() == 1) return nums[start];
        if(nums.size() == 2) return max(nums[start], nums[start + 1]);

        vector<int> dp(nums.size() + 1, 0);
        dp[start] = nums[start];
        dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);

        for(int i = start + 2; i <= end; i++){
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
        }

        return dp[end];
    }
};

337.打家劫舍 III

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划，房间连成树了，偷不偷呢？| LeetCode：337.打家劫舍3_哔哩哔哩_bilibili

状态：不会做。这是“树形dp”的入门题。

思路

每个节点只有两种状态：偷与不偷，可以用长度为2的数组表示。eg. dp[0]表示不偷，dp[1]表示偷。

递归遍历时，每层递归都有一个长度为2的dp数组，表示当前节点的状态(偷与不偷)，故无需定义一个大的dp数组来表示所有节点状态。

每个节点有偷和不偷两种状态，比较这两种状态的金钱取较大值。而计算当前节点偷与不偷的金钱时，又受到左右子结点的影响，比如：

• 偷当前节点，就不能偷左右子结点，故当前节点的金钱=当前节点值+左结点的dp[0]+右节点的dp[0]，而左右节点的dp[0]需要通过后序遍历获得；
• 不偷当前节点，就考虑偷左右子结点，！！那么左右子结点到底偷不偷呢？eg. 左节点偷不偷取决于“左节点在偷与不偷的情况下，左节点的最大金币数是多少，取最大值”。右孩子同理。

将以上两种状态的金币数作为递归的返回值。

以上是看视频总结的，下面是文档讲解

动态规划就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。

这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。

1. 确定递归函数的参数和返回值

   要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。

   参数为当前节点，这里的返回数组就是dp数组。代码如下：

   vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
   

   所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！

2. 确定终止条件

   在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回。这也相当于dp数组的初始化。

   if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
   

3. 确定遍历顺序

   首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。

   通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。

   通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

   // 下标0：不偷，下标1：偷
   vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
   vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
   // 中
   

4. 确定单层递归的逻辑

   如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0];

   如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

   最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

   vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
   vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
   
   // 偷cur
   int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
   // 不偷cur
   int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
   return {val2, val1};
   

代码

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        vector<int> result = robTree(root);
        return max(result[0], result[1]);
    }
    // 长度为2的数组，0：不偷，1：偷
    vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
        if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
        vector<int> left = robTree(cur->left);
        vector<int> right = robTree(cur->right);
        // 偷cur，那么就不能偷左右节点。
        int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
        // 不偷cur，那么可以偷也可以不偷左右节点，则取较大的情况
        int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
        return {val2, val1};
    }
};