代码随想录算法训练营第四十一天 | 一层for过渡到两层for

最新推荐文章于 2025-12-16 18:10:48 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-16 18:10:48 发布 · 386 阅读

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#leetcode

343. 整数拆分

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划，本题关键在于理解递推公式！| LeetCode：343. 整数拆分_哔哩哔哩_bilibili

状态：做不出来。应该算难题了。注意这题是从两层for，而之前题目都是一层for，这是题目的难点。真算是一层for到两层for过渡的经典题。

思路

先看视频后看文档，文档不够细。

动规五部曲，分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。dp[i]的定义将贯彻整个解题过程。
确定递推公式

dp[i]是怎么得到的呢？

令j从1遍历到 i-1，有两种渠道得到dp[i]：

①将i拆分成两个数字j 和i-j，那么dp[i] = j * (i - j)；

②将i拆分成两个以及两个以上的个数相乘，那么dp[i] = j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，dp[i - j]表示对(i - j)拆分相乘得到的最大值；

在j从1遍历到 i-1过程中，比较 j * (i - j) 和 j * dp[i - j]，取最大的，递推公式为dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已，比如对数字10拆分，可拆成很多种：5、5，3、3、4，…要从里面选最大的。

那有同学问了，j怎么就不拆分呢？

比如 i=6，dp[6] = 2 x dp[4] = 2 x 1 x 1 x 1 x1，此时j=2，那么有个问题：为什么不拆分j，即为什么不拆分2？

这是因为之前 j=1 时，dp[6] = 1 x dp[5] = 1 x 1 x 1 x 1 x 1已经出现过把2拆分的情况了，所以是为了不重复拆分。
dp的初始化

严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
确定遍历顺序

先来看看递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))；

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
```
for (int i = 3; i <= n ; i++) {		//遍历每个数i拆分后的最大乘积
    for (int j = 1; j < i; j++) {	//把i拆成两部分，第一部分为固定值j，第二部分为(i-j)或dp[i-j]
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}
```
注意枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。

至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

更优化一步，可以这样：
```
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}
```
因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。

例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话也是拆成m个近似数组的子数相乘才是最大的。

只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是最差也应该是拆成两个相同的可能是最大值。

那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。
举例推导dp数组

代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){    //遍历每个数i拆分后的最大乘积
            for(int j = 1; j <= i/2; j++){  //把i拆成两部分，第一部分为固定值j，第二部分为(i-j)或dp[i-j]
                dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

96.不同的二叉搜索树

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划找到子状态之间的关系很重要！| LeetCode：96.不同的二叉搜索树_哔哩哔哩_bilibili

状态：不会做。感觉很难。

思路

！求多少种、最值，几乎都可以往dp靠。

直接看视频吧，这题没做过很难想到递推公式。如果要找递归公式，先从n=1，2，3把图画出，看里面的规律，即利用dp[1]和dp[2]推导出dp[3]。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){    //遍历各个dp[i]
            for(int j = 1; j <= i; j++){    //每个dp[i]的构建过程
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};