（最新更新）2024全国大学生数学建模竞赛（国赛）A题碰撞检测模型+最优螺距 机理建模

24国赛全解全析：

(文中前面的几张图片是我往期作品中的部分内容和可视化图片哦，可视化内容非常精美！)

以下为开赛后更新的回答

2024全国大学生数学建模竞赛（国赛）A题 碰撞检测模型+最优螺距 机理建模

题目分析

• 板凳结构和连接方式：
• 每节板凳有固定的长度和宽度，龙头和龙身、龙尾的长度不同。
• 每节板凳通过孔和把手相连接。
• 需要考虑孔的位置和连接方式对整体结构的影响。
• 目标：
• 优化板凳龙的排列方式，使其在最小面积内盘旋。
• 提高板凳龙的行进速度和观赏性。

建模思路

• 几何建模：
• 计算每节板凳的占用面积，并考虑到它们之间的连接角度和重叠区域。
• 根据给定的连接方式，模拟板凳龙在不同角度下的布局，找到最小面积的排列方式。
• 优化算法：
• 可以使用启发式算法如模拟退火算法或遗传算法，寻找最优的板凳排列顺序和连接角度。
• 对于每种排列方式，计算所需的总面积和连接的紧密程度，选择最优解。
• 动力学分析：
• 如果考虑板凳龙的行进速度，还需要分析每节板凳在运动中的动态变化和阻力，可能需要引入物理建模。

根据你提供的文件内容，我们可以对这个数学建模问题进行更深入的分析。以下是针对各个问题的详细分析和可能的建模思路：

问题 1 分析

问题描述：舞龙队沿螺距为 55 cm 的等距螺线顺时针盘入，龙头前把手的速度为 1 m/s。要求计算从初始时刻到 300 秒的每秒整个舞龙队的位置和速度，并在特定时刻记录龙头、龙身和龙尾的特定位置和速度。

建模思路：

1. 参数化螺旋曲线：使用极坐标方程 r=a+bθ 描述螺线，其中 和a和b 为常数，螺距 p=2πbθ=55cm 。

2. 速度和位置计算：根据龙头的速度 （）（1m/s） 计算每秒龙头沿螺线前进的距离，再根据每节板凳的长度和间距计算龙身和龙尾的位置和速度。

3. 数值模拟：编写一个程序模拟每秒舞龙队各个部分的位置和速度，并输出结果到文件 result1.xlsx。

问题 2 分析

问题描述：确定舞龙队在盘入过程中，板凳之间不发生碰撞的终止时刻。

建模思路：

1. 碰撞检测：考虑到板凳的宽度和相邻板凳的最小间距，建立一个几何模型检测各节板凳是否发生碰撞。

2. 迭代模拟：在问题 1 的基础上，逐步增加时间，检测每一步的位置，如果发生碰撞，则记录时间并停止计算。 3. 优化算法：可以使用事件驱动的方法来优化检测过程，只在可能发生碰撞时进行计算。

问题 3 分析

问题描述：确定最小螺距，使得龙头前把手能够沿着相应的螺线盘入到直径为 9 m 的调头空间的边界。

建模思路：

1. 几何优化：使用几何分析计算从初始位置到调头空间边界所需的最小螺距。需要考虑到整个舞龙队的长度和转弯半径。

2. 数值求解：可以使用优化算法（如二分法或梯度下降）求解最小螺距。

问题 4 分析

问题描述：调整调头曲线，使得龙头前把手能够沿S形曲线调头，并保持与盘入、盘出螺线相切，目标是使调头曲线最短。

建模思路：

1. 曲线拟合与优化：利用曲线拟合技术（如贝塞尔曲线或样条曲线）拟合出最短的调头路径，保持与螺线的相切条件。

2. 优化问题建模：将调头曲线的长度作为目标函数，以曲线形状参数作为优化变量，使用优化算法（如遗传算法或模拟退火）找到最优解。

问题 5 分析

问题描述：确定龙头的最大行进速度，使得舞龙队各把手的速度均不超过 2 m/s。

建模思路：

1. 速度限制分析：根据龙头速度和各节板凳之间的关系，分析不同速度下各部分的速度变化，确保不超过2 m/s。 2. 数值模拟与优化：编写一个程序模拟不同龙头速度下的情况，使用优化算法找到使得所有板凳速度均在限制范围内的最大龙头速度。

变量定义和符号说明

我们使用了多个变量和符号来描述数学模型和解题过程。以下是主要变量和符号的定义和说明：

符号	定义与说明
r	极坐标下的半径，表示从螺线中心到舞龙队某把手的距离（单位：米）。
\theta	极坐标下的角度，表示绕螺线中心的旋转角度（单位：弧度）。
p	螺线的螺距，表示螺线每旋转一圈的径向变化量（单位：米）。
v_{\text{head}}	龙头的行进速度，表示龙头前把手的线速度（单位：米/秒）。
v_i	第 i 节龙身前把手或龙尾后把手的速度，表示舞龙队中某节板凳的速度（单位：米/秒）。
\omega_i	第 i 节龙身前把手或龙尾后把手的角速度，表示舞龙队中某节板凳绕圆心的角速度（单位：弧度/秒）。
R_1	第一段圆弧的半径，表示调头路径第一段圆弧的半径（单位：米）。
R_2	第二段圆弧的半径，表示调头路径第二段圆弧的半径（单位：米）。
L	调头路径的总长度，表示两段圆弧的总弧长（单位：米）。
t	时间，表示龙头从开始到当前时间的经过时间（单位：秒）。
s	沿螺旋线的累计行进距离，表示龙头在螺旋线上的累积距离（单位：米）。
x(t), y(t)	直角坐标下的坐标位置，表示龙头或其他把手在直角坐标系下的坐标（单位：米）。
￥\theta_1 , \theta_2	调头路径中第一段和第二段圆弧的圆心角，表示每段圆弧绕其圆心的旋转角度（单位：弧度）。
\text{turn\_radius}	调头空间的半径，表示调头空间的圆形区域的半径（单位：米）。
v_{\text{max}}	龙头的最大行进速度，表示在所有把手速度不超过2 m/s条件下的最大龙头速度（单位：米/秒）。
d_{ij}	两个把手之间的距离，表示舞龙队中相邻板凳之间的距离（单位：米）。
a	螺距系数，定义为 a = \frac{p}{2\pi}，用于极坐标下描述螺旋线（单位：米/弧度）。

问题 2：解题过程及数学建模

问题描述： 在舞龙队沿螺距为 55 cm 的等距螺线顺时针盘入的过程中，确定舞龙队盘入的终止时刻，即使得板凳之间不发生碰撞的最后时刻。输出此时舞龙队的位置和速度，并存放在 result2.xlsx 中。

数学模型

螺线盘入模型： 和问题1一样，我们使用极坐标来描述螺旋线路径，舞龙队沿着螺旋线前进。

碰撞检测模型：

每节板凳有固定长度 220 cm（龙头长度为 341 cm），宽度为 30 cm。相邻板凳通过把手连接。为避免碰撞，板凳之间的间距至少要大于或等于板凳宽度。

两节相邻的板凳的中心距可以通过极坐标下的两点之间的距离公式计算： dij=(ricos⁡(θi)−rjcos⁡(θj))2+(risin⁡(θi)−rjsin⁡(θj))2 其中 i, j 为两节相邻板凳的索引。

终止条件：

当 dij<0.3 米时（即 30 cm），表示两节板凳发生碰撞，此时舞龙队盘入应终止。

数值模拟：

和问题1类似，我们采用数值方法模拟龙头沿螺旋线的运动。对于每一个时间步，计算每节板凳的位置并检测是否发生碰撞。

求解步骤

1. 初始化参数：
2. 设定初始位置、速度及板凳间距。
3. 设置螺线方程参数、板凳长度、宽度等。
4. 时间迭代：
5. 对于每一个时间步，计算所有板凳的坐标位置。
6. 计算相邻板凳之间的距离，检测是否发生碰撞。
7. 碰撞检测：
8. 对所有相邻板凳计算距离，若任意两个板凳之间的距离小于 0.3 m，则停止迭代，记录时间、