Python词性标注HMM+viterbi实现

一些理论

概率图模型

利用图来表示与模型有关的变量的联合概率分布

贝叶斯网络

将随机变量作为结点，若两个随机变量相关或者不独立，则将二者连接一条边；若给定若干随机变量，则形成一个有向图，即构成一个网络。

如果该网络是有向无环图，则这个网络称为贝叶斯网络。

$$p(A,B,C,D)=P(A)P(B|A)P(C|A,B)P(D|C)$$

马尔科夫模型

若贝叶斯网络退化成线性链，则得到马尔科夫模型。

已知 $n$ 个有序随机变量，根据贝叶斯定理，其联合分布可写成条件分布的连乘
$$p(x_1,x_2,...x_n)=\prod _{i=1}^{n}p(x_i|x_{i-1},...x_1)$$

马尔科夫模型是指，假设序列中的任一随机变量只与它的前 $1$ 个变量有关，与更早的变量条件独立
$$p(x_i|x_{i-1},...x_1)=p(x_i|x_{i-1})$$

在此假设下，其联合分布可简化为
$$p(x_1,x_2,...x_n)=p(x_1)\prod _{i=2}^{n}p(x_i|x_{i-1})$$

为了表达当前变量与更早的变量之间的关系，可引入高阶马尔科夫性，指当前随机变量与它的前 $m$ 个变量有关
$$p(x_1,x_2,...x_n)=\prod _{i=1}^{n}p(x_i|x_{i-1},...x_{i-m})$$

隐马尔科夫模型

对于离散型随机变量
显性序列：$X=x_1,x_2,...x_n$
隐性序列：$Z=z_1,z_2,...z_n$

显性序列 $X$ 已知，求解最大概率的隐性序列 $Z$ ，即是最大化 $p(Z|X)$

$$p(Z|X)=p(X|Z)p(Z)=p(x_1,x_2,...x_n|z_1,z_2,...z_n)p(z_1,z_2,...z_n)$$

根据马尔科夫假设，任一随机变量只与它的前 $1$ 个变量有关

$$p(x_1,x_2,...x_n|z_1,z_2,...z_n)=\prod _{i=1}^{n}p(x_i|z_i)$$

$$p(z_1,z_2,...z_n)=p(z_1)\prod _{i=2}^{n}p(z_i|z_{i-1})$$

模型简化为3个部分

1. （隐态→显态）发射概率模型：${\prod }_{i=1}^{n}p(x_i|z_i)$
2. （隐态）初始概率模型：$p(z_1)$
3. （隐态）转移概率模型：${\prod }_{i=2}^{n}p(z_i|z_{i-1})$

HMM应用之——隐序列解码（词性标注）

1、基础配置、数据预处理

import numpy as np, pandas as pd

START = 'start'  # 句始tag
END = 'end'  # 句末tag
NOUN = 'subj'  # 名词
ADV = 'adv'  # 副词
ADJ = 'adj'  # 形容词

corpus = np.array([
    ('我', NOUN), ('很', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('好', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('很', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('很', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('好', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('很', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('菜', NOUN), ('很', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('菜', NOUN), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('好', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('好', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
], dtype=str)

words = sorted(set(corpus[:, 0]))
tags = sorted(set(corpus[:, 1]))

W = len(words)  # 词汇量
T = len(tags)   # 词性种类数

word2id = {words[i]: i for i in range(W)}
tag2id = {tags[i]: i for i in range(T)}
id2tag = {i: tags[i] for i in range(T)}

2、HMM参数训练

SMOOTHNESS = 1e-8  # 平滑参数

emit_p = np.zeros((T, W)) + SMOOTHNESS  # emission_probability
start_p = np.zeros(T) + SMOOTHNESS  # start_probability
trans_p = np.zeros((T, T)) + SMOOTHNESS  # transition_probability

prev_tag = START  # 前一个tag
for word, tag in corpus:
    wid, tid = word2id[word], tag2id[tag]
    emit_p[tid][wid] += 1
    if prev_tag == START:
        start_p[tid] += 1
    else:
        trans_p[tag2id[prev_tag]][tid] += 1
    prev_tag = START if tag == END else tag  # 句尾判断

3、频数 --> 概率对数

取对数，防止下溢，乘法运算转换成更简单的加法运算
$$\sum _{i=1}^n\ln p(x_i|z_i)+\ln p(z_1)+\sum _{i=2}^n\ln p(z_i|z_{i-1})$$

start_p = np.log(start_p / sum(start_p))
for i in range(T):
    emit_p[i] = np.log(emit_p[i] / sum(emit_p[i]))
    trans_p[i] = np.log(trans_p[i] / sum(trans_p[i]))

隐→显 发射矩阵

pd.DataFrame(emit_p, tags, words)

初始隐态矩阵

pd.DataFrame(start_p.reshape(1, T), ['START'], tags)

隐态转移矩阵

pd.DataFrame(trans_p, tags, tags)

4、维特比算法

sentence = list('菜好好')

obs = [word2id[w] for w in sentence]  # 观测序列
le = len(obs)  # 序列长度

# 动态规划矩阵
dp = np.array([[-1e99] * T] * le)  # 节点最大概率对数
path = np.zeros((le, T), dtype=int)  # 节点转移记录

for j in range(T):
    dp[0][j] = start_p[j] + emit_p[j][obs[0]]
    path[0][j] = -1

for i in range(1, le):
    for j in range(T):
        dp[i][j], path[i][j] = max(
            (dp[i - 1][k] + trans_p[k][j] + emit_p[j][obs[i]], k)
            for k in range(T))

节点最大概率矩阵

pd.DataFrame(dp.T, tags, sentence)

节点转移记录矩阵

pd.DataFrame(path.T, tags, sentence)

隐态序列标号

states = [np.argmax(dp[le - 1])]
# 从后到前的循环来依次求出每个单词的词性
for i in range(le - 2, -1, -1):
    states.insert(0, path[i + 1][states[0]])

5、标注结果打印

for word, tid in zip(sentence, states):
    print(word, id2tag[tid])

菜 subj
好 adv
好 adj
。 end

附录

语料地址：
https://github.com/AryeYellow/PyProjects/blob/master/NLP/Viterbi-词性标注/POS_tagging.ipynb
GitHub地址：
https://github.com/AryeYellow/PyProjects/blob/master/NLP/Viterbi-词性标注/HMM.ipynb

注释

en	cn
Probabilistic Graphical Model	概率图模型
Bayesian Network	贝叶斯网络
Directed Acyclic Graph	有向无环图
HMM	Hidden Markov Model
part-of-speech tagging	词性标注
observation	n. 观察
emission	n. 发射
transition	n. 过渡；转变
dynamic programming	动态规划

完整代码

import numpy as np

"""配置"""
SMOOTHNESS = 1e-8
START = 'start'  # 句始tag
END = 'end'  # 句末tag
NOUN = 'subj'  # 名词
ADV = 'adv'  # 副词
ADJ = 'adj'  # 形容词

"""数据预处理"""
corpus = np.array([
    ('我', NOUN), ('很', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('好', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('很', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('很', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('好', ADV), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('很', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('菜', NOUN), ('很', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('菜', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('菜', NOUN), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('我', NOUN), ('好', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
    ('他', NOUN), ('好', ADV), ('好', ADJ), ('。', END),
], dtype=str)

words = sorted(set(corpus[:, 0]))
tags = sorted(set(corpus[:, 1]))

W = len(words)  # 词汇量
T = len(tags)  # 词性种类数

word2id = {words[i]: i for i in range(W)}
tag2id = {tags[i]: i for i in range(T)}
id2tag = {i: tags[i] for i in range(T)}

"""HMM训练"""
emit_p = np.zeros((T, W)) + SMOOTHNESS  # emission_probability
start_p = np.zeros(T) + SMOOTHNESS  # start_probability
trans_p = np.zeros((T, T)) + SMOOTHNESS  # transition_probability

prev_tag = START  # 前一个tag
for word, tag in corpus:
    wid, tid = word2id[word], tag2id[tag]
    emit_p[tid][wid] += 1
    if prev_tag == START:
        start_p[tid] += 1
    else:
        trans_p[tag2id[prev_tag]][tid] += 1
    prev_tag = START if tag == END else tag  # 句尾判断

# 频数 --> 概率对数
start_p = np.log(start_p / sum(start_p))
for i in range(T):
    emit_p[i] = np.log(emit_p[i] / sum(emit_p[i]))
    trans_p[i] = np.log(trans_p[i] / sum(trans_p[i]))


def viterbi(sentence):
    """维特比算法"""
    obs = [word2id[w] for w in sentence.strip()]  # 观测序列
    le = len(obs)  # 序列长度

    # 动态规划矩阵
    dp = np.zeros((le, T))  # 记录节点最大概率对数
    path = np.zeros((le, T), dtype=int)  # 记录上个转移节点

    for j in range(T):
        dp[0][j] = start_p[j] + emit_p[j][obs[0]]

    for i in range(1, le):
        for j in range(T):
            dp[i][j], path[i][j] = max(
                (dp[i - 1][k] + trans_p[k][j] + emit_p[j][obs[i]], k)
                for k in range(T))

    # 隐序列
    states = [np.argmax(dp[le - 1])]
    # 从后到前的循环来依次求出每个单词的词性
    for i in range(le - 2, -1, -1):
        states.insert(0, path[i + 1][states[0]])

    # 打印
    for word, tid in zip(sentence, states):
        print(word, id2tag[tid])


"""测试"""
x = '菜好好。'
viterbi(x)

补充：马尔科夫网络、马尔科夫模型、马尔科夫过程、贝叶斯网络的区别

1. 将随机变量作为结点，若两个随机变量相关或者不独立，则将二者连接一条边；若给定若干随机变量，则形成一个有向图，即构成一个网络。
2. 如果该网络是有向无环图，则这个网络称为贝叶斯网络。
3. 如果这个图退化成线性链的方式，则得到马尔科夫模型；因为每个结点都是随机变量，将其看成各个时刻(或空间)的相关变化，以随机过程的视角，则可以看成是马尔科夫过程。
4. 若上述网络是无向的，则是无向图模型，又称马尔科夫随机场。
5. 如果在给定某些条件的前提下，研究这个马尔科夫随机场，则得到条件随机场。
6. 如果使用条件随机场解决标注问题，并且进一步将条件随机场中的网络拓扑变成线性的，则得到线性链条件随机场。