洛谷P3628 特别行动队（斜率优化dp）

斜率优化dp，通俗来说就是用斜率优化dp（）

洛谷P3628 特别行动队（斜率优化dp）

LUOGU

题意：给出一串数字，要求你进行分割，设分割成的每块的和为$x$，要求所有块的$A{x}^2+Bx+C$最大，求这个最大值。

很容易写出一般$dp$式子：

设j为i前面一块的最后一个位置。（以下式子不含$max$，因为大括号公式打不上。。）

$f[i]=f[j]+A(su{m}_i-su{m}_j{)}^2+B(su{m}_i-su{m}_j)+C$

然后考虑斜率优化。。。好耶

有些人喜欢设两个j观察满足什么条件时可以更新，但是那样不是很能体现斜率。
所以我们就直接在原式子上进行操作。

以下为过程：

先拆开：

$f[i]=f[j]+A\cdot su{m}_i^2+A\cdot su{m}_j^2-2A(su{m}_i\cdot su{m}_j)+B\cdot su{m}_i-B\cdot su{m}_j+C$

然后把不变的提出来，顺便移项：

$f[i]-A\cdot su{m}_i^2-B\cdot su{m}_i-C=f[j]+A\cdot su{m}_j^2-2A(su{m}_i\cdot su{m}_j)-B\cdot su{m}_j$

我们要求最大的$f[i]$，所以要让式子的左边最大。

设：

$B=f[i]-A\cdot su{m}_i^2-B\cdot su{m}_i-C$（就是式子的左边）

$K=2A\cdot su{m}_i$

$X=su{m}_j$

$Y=f[j]+A\cdot su{m}_j^2-B\cdot su{m}_j$

然后代入就变成了$Y=KX+B$

我们要求$B$最大，相当于在$x-y$的图像上找到两个点，使所连直线的纵截距最大。

所以维护一个上凸就好了。

真的是非常的简单呢！！！（指自己推的时候写了一整页）

下面是代码。。。

温馨提示，不知道哪里要开$long$ $long$就全开了，只要内存不超就行。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,A,B,C,a[1000010],q[1000010];
long long f[1000010];
double pd(long long x,long long y){
	return double((f[x]-f[y]+A*(a[x]*a[x]-a[y]*a[y])+B*(a[y]-a[x]))/double(2*A*(a[x]-a[y])));
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]+=a[i-1];//原数组用不上，直接变成前缀和
	}
	int hh=0,tt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(hh<tt&&pd(q[hh],q[hh+1])<=a[i]*1.0) hh++;
		f[i]=f[q[hh]]+A*(a[i]-a[q[hh]])*(a[i]-a[q[hh]])+B*(a[i]-a[q[hh]])+C;
		while(hh<=tt&&pd(q[tt-1],q[tt])>=pd(q[tt],i)) tt--;
		q[++tt]=i;
	}
	printf("%lld",f[n]);
}