组合数计算

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本文介绍了计算n!中质因子个数的三种方法，包括直接遍历、使用除法和递归分解。同时，详细讲解了组合数C(n,m)的定义式、递推公式及其变形，并提供了在模意义下计算组合数的方法。

计算 n! 中质因子个数

方法一：直接从 1~n 遍历确认质因子个数

int cal(int n,int p){
    int ans=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int temp=i;
        while(temp%p==0){
            ans++;
            temp/=p;
        }
    }
    return ans;
}

方法二：n! 中质因子 p 个数= (n/p+n/p^2+n/p^3+...)

int cal(int n,int p){
    int ans=0;
    while(n){
        ans+=n/p;
        n/=p;
    }
    return ans;
}

方法三：n! 中质因子 p 的个数，实际上等于1~n 中 p 的倍数的个数 n/p 加上 n/p! 中质因子 p 的个数

int cal(int n,int p){
    if(n<p) return 0;
    return n/p+cal(n/p,p);
}

组合数C(n,m)

1.定义式（可能溢出）

 long long C(long long n,long long m){
    long long ans=1;
    for(long long i=1;i<=n;i++){
        ans*=i;
    }
    for(long long i=1;i<=m;i++){
        ans/=i;
    }
    for(long long i=1;i<=n-m;i++){
        ans/=i;
    }
    return ans;
}

2.递推公式 C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

long long C(long long n,long long m){
    if(m==0||m==n) return 1;
    return C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
}

long long res[67][67]={0};
long long C(long long n,long long m){
    if(m==0||m==n) return 1;
    if(res[n][m]!=0) return res[n][m];
    return res[n][m]=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
}

n=67、m=33溢出

3.定义式的变形

long long C(long long n,long long m){
    long long ans=1;
    for(long long i=1;i<=m;i++){
        ans=ans*(n-m+i)/i;
    }
    return ans;
}

n=62、m=31溢出

计算C(n,m)%p

方法一：递推公式

//递归
int res[1010][1010]={0};
int C(int n,int m,int p){
    if(m==0||m==n) return 1;
    if(res[n][m]!=0) return res[n][m];
    return res[n][m]=(C(n-1,m)+C(n-1,m-1))%p;
}

//递推
void calC(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        res[i][0]=res[i][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i/2;j++){
            res[i][j]=(res[i-1][j]+res[i-1][j-1])%p;
            res[i][i-j]=res[i][j];
        }
    }
}

方法二：定义式

int prime[maxn];

int C(int n,int m,int p){
    int ans=1;
    for(int i=0;prime[i]<=n;i++){
        int c=cal(n,prime[i])-cal(m,prime[i])-cal(n-m,prime[i]);
        ans=ans*binaryPow(prime[i],c,p)%p; //快速幂a^b%m;
    }
    return ans;
}

方法三：定义式变形