快速幂

最新推荐文章于 2021-06-23 13:06:51 发布

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本文深入讲解快速幂算法，介绍其原理及实现方式，通过将指数转换为二进制，利用位运算实现高效幂运算，时间复杂度从O(n)降至O(logn)。

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快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

假设我们要求a^{b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2}(i-1)，例如当b==11时

a11=a(2⁰⁺²1+2^3)
　　11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a2^0*a21a2^3，也就是a1a2*a8 ，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子…不急，下面会有详细解释。　　由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：&和>> &运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&10为偶，x&11为奇。 >>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。

int poww(int a, int b) {
    int ans = 1, base = a;
    while (b != 0) {
        if (b & 1 != 0)
            ans *= base;
            base *= base;
            b >>= 1;
    }
    return ans;
}```


　　代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步：因为 base*base==base2，下一步再乘，就是base2*base2==base4，然后同理  base4*base4=base8，由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指数正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a1*a2*a8，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。