[bzoj2005][luogu1447][noi2010]能量采集

• Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

• Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

• Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

• Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

• Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

蒟蒻用莫比乌斯过的。。
Orz各位用欧拉函数过的大佬。。。
Orz w_yqts
首先，令f(x,y)={(a,b),0< a< x,0< b< y,a∈Z,b∈Z,y/x=b/a}的大小
答案为Σ(2*f(i,j)-1)
显然,f(i,j)=gcd(i,j)
于是有

大概就是这样子…
代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
int miu[N],pr[N],flag[N],pn;
int n,m;
int calc(int n,int m)
{
    if (!n) return 0;
    int res=0;
    for (int i=1,pos;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));\
        res+=(miu[pos]-miu[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return res;
}
int gcd(int x,int y)
{
    if (!y) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    if (n<m) swap(n,m);
    miu[1]=flag[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!flag[i]) pr[++pn]=i,miu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=pn && pr[j]*i<=n;++j)
        {
            flag[i*pr[j]]=1;
            if (i%pr[j]==0)
            {
                miu[i*pr[j]]=0;
                break;
            }
            miu[i*pr[j]]=-miu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) miu[i]+=miu[i-1];
    swap(n,m);
    long long ans=0LL;
    for (int d=1;d<=n;++d) ans+=(long long)(d)*calc(n/d,m/d);
    cout<<ans*2-n*m<<endl;
}