沙拉公主的困惑（bzoj2186 luogu2155）-优快云博客

本文介绍了一种高效计算质数及其逆元的方法，通过预处理1到10^7之间的质数和逆元，实现了快速求解特定数学问题的方案。文章详细讨论了如何使用递推公式进行计算，并提供了完整的C++代码实现。

这是一道很恶心的题目，~~老实说我第一次对着标程调了2个多小时~~

~~题目不说了，相信肯定看完了~~

显然N!是M!的倍数，答案为 $\Phi (M!)*(N!/M!)$

预处理出1~10^7的质数及逆元还有阶乘

递推求 $\ f[m]=\Phi (m!)*m!^{-1}$

而答案为 $\ f[m]*n!%p$

该怎么递推求解f呢？
$\ f[m]=Phi (m!)/m!=m!*(1-1/p1)*(1-1/p2)*\cdots *(1-1/pr)/m!$

$\ =(1-1/p1)*(1-1/p2)*\cdots *(1-1/pr)$

当m为质数 $f[m]=f[m-1]*(m-1)/inv(m)$

否则 $f[m]=f[m-1]$

~~这道题就这么简单的ac了~~

但是细节很多，如果你都开long long（~~P党不管了~~），你会爆空间，如果你用高精，你会贼烦。

所以记得%p，并且强制转long long

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+5;
const int n=1e7;
int p,cnt;
int pri[N],jc[N],inv[N],s[N];
bool fl[N];
inline int read()
{
	char ch=getchar();
	int ret=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') 
		ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return ret;
}
inline void get_pri()
{
	for(int i=1;i<=n;i++) fl[i]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!fl[i]) pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			if(i*pri[j]>n) break;
			fl[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)	break;
		}
	}
}
inline void get_jc()
{
	jc[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%p;
}
inline void get_inv()
{
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) 
		inv[i]=1LL*(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}
inline void get_s()
{
	s[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		s[i]=(fl[i])?s[i-1]:1LL*s[i-1]*(i-1)%p*inv[i]%p;
}
int main()
{
	int T=read(); p=read();
	get_pri(); get_jc(); get_inv(); get_s();
	while(T--)
	{
		int a=read(),b=read();
		printf("%d\n",(ll)jc[a]*s[b]%p);
	}
	return 0;
}