动态规划之矩阵连乘

最新推荐文章于 2023-12-05 22:40:52 发布

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博客探讨了如何使用动态规划解决矩阵连乘的最优解问题。介绍了矩阵连乘的条件、计算量以及递归式，并提供了代码实现。通过分析不同加括号方式，得出最佳的矩阵乘法规则，以最小化计算次数。

题目描述：

            给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中，Ai与Ai+1是可乘的，(i=1,2 ,…,n-1)。用加括号的方法表示矩阵连乘的次序，不同的计算次序计算量（乘法次数）是不同的，找出一种加括号的方法，使得矩阵连乘的次数最小。

例如：

              A1是A（5*10）的方阵；

              A2是A（10*100）的方阵；

              A3是A（100*2）的方阵；

那么有两种加括号的方法：

（A1A2）A3；
2. A1（A2A3）；

 第一种方法的计算量：5*10*100+5*100*2=6000；

 第二种方法的计算量：10*100*2+5*10*2=2100；

 可以看出不同计算方法计算量差别很大。

问题分析：

3.两个矩阵相乘的计算量：

例如：A（32），B（24）

可知总执行次数为：324=24.

所以矩阵Amn和Bnk的乘法运算次数为：mnk；

4.矩阵连乘AiAi+1Ai+2……Aj的最优解问题

假设在第k位置上找到最优解，则问题变成了两个子问题：（AiAi+1……Ak），（Ak+1……Aj）

用m[i][j]表示矩阵连乘的最优值，那么两个子问题对应的最优值变成m[i][k],m[k+1][j];

设矩阵Am的行数为Pm，列数为qm，矩阵是可连乘的，即相邻矩阵qm=Pm+1，所以（AiAi+1……Ak）可表示为Pi * qk，

（Ak+1……Aj）可表示为Pk+1 * qj，qk = P