codeforces 552C Vanya and Scales(进制转化)

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/552/C

题意:

现有w^0, w^1, w^2……w^100克的秤砣

给出w,m

问能不能用上诉的秤砣算出m,秤砣可以放天平的左右两边,每个秤砣只能用一次

可以就输出YES,不可以就输出NO

比如:

输入3   7

3+7 = 9+1

输出YES


解题思路:

先看一个特殊情况:

如果输入3  7

先把7转化为3进制,是21    

7 = 2*3^1+1*3^0 = (3-1)*3^1+1*3^0 = 1*3^2-1*3^1+1*3^0

减号表示和7放同侧,+表示放异侧

结果就是7+3 = 9+1

所以先将m变成w进制,1表示与m异侧,w-1表示同侧,若出现其他数就输出NO


#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
int p[105];
int main()
{
	int w,n;
	scanf("%d%d",&w,&n);
	int l=0;
	while(n)
	{
		p[l] = n%w;
		n/=w;
		l++;
	}
	if(l>101) 
	{
		printf("NO\n");
		return 0;
	}
	for(int i=0;i<l;i++)
	{
		if(p[i]>=w)
		{
			p[i]-=w;
			p[i+1]++;
		}
		if(p[i]<=1) continue;
		else if(p[i]==w-1)
		{
			p[i]=0;
			p[i+1]++;
		}
		else 
		{
			printf("NO\n");
			return 0;
		}
	}
	printf("YES\n");
	return 0;
} 




### 解题思路 #### 问题描述 Codeforces 1678C - Tokitsukaze and Strange Inequality 是一道关于排列组合与前缀和的应用问题。给定一个长度为 \( n \) 的排列数组 \( p \),需要统计满足条件 \( a < b < c < d \) 并且 \( p_a < p_c \) 同时 \( p_b > p_d \) 的四元组数量。 --- #### 核心思想 由于数据规模较小 (\( n \leq 5000 \)),可以直接通过枚举的方式解决问题。为了降低时间复杂度,引入 **前缀和** 技术来加速计算过程[^3]。 具体来说: - 枚举变量 \( a \) 和 \( c \),固定它们之后,目标是快速找到符合条件的 \( b \) 和 \( d \)。 - 使用预处理好的前缀和数组 `num` 来高效查询某个范围内满足特定关系的数量。 - 定义辅助数组 `sum` 表示对于固定的区间范围内的某些约束条件下的累积计数结果。 --- #### 实现细节 ##### 步骤一:构建前缀和数组 `num` 定义二维数组 `num[i][j]`,其中 `num[i][j]` 表示在序列的前 \( i \) 项中,有多少个元素大于 \( j \)。 该数组可以通过如下方式初始化: ```python n = len(p) max_val = max(p) # 初始化 num 数组 num = [[0] * (max_val + 2) for _ in range(n + 1)] for i in range(1, n + 1): for j in range(max_val + 1, -1, -1): # 反向遍历以保持正确性 if p[i - 1] > j: num[i][j] = num[i - 1][j] + 1 else: num[i][j] = num[i - 1][j] ``` 上述代码的时间复杂度为 \( O(n \cdot m) \),其中 \( m \) 是数组中的最大值。 --- ##### 步骤二:定义并填充辅助数组 `sum` 定义另一个二维数组 `sum[i][j]`,它表示当 \( a=i \), \( c=j \) 时,在区间 \([a+1, c-1]\) 中满足 \( p[b] > p[d] \) 的总贡献次数。 利用动态规划的思想逐步更新此数组: ```python sum_ = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] bucket = [0] * (max_val + 1) for l in range(n - 1, 0, -1): bucket[p[l]] += 1 for r in range(l + 2, n + 1): sum_[l][r] = sum_[l][r - 1] + (num[r - 1][p[r - 1]] - num[l][p[r - 1]]) ``` 这里的关键在于如何有效累加当前区间的合法贡献,并借助之前已经计算的结果减少重复运算。 --- ##### 步骤三:枚举所有可能的 \( a \) 和 \( c \) 最后一步是对所有的 \( a \) 和 \( c \) 进行双重循环,并将对应位置上的 `sum[a][c]` 加入最终答案中: ```python result = 0 for a in range(1, n - 2): for c in range(a + 2, n): result += sum_[a][c] print(result) ``` 整个算法的核心部分即完成以上三个阶段的操作即可实现高效的解决方案。 --- ### 总结 本题主要考察的是对多重嵌套结构的有效简化以及合理运用前缀和技巧的能力。通过巧妙设计的数据结构能够显著提升程序运行效率至可接受水平。
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