POJ 3071 Football（概率dp）

题目链接：http://poj.org/problem?id=3071

     

解题思路：

         题目意思比较简单，就是已知1<<n个队伍，每两个队伍比赛的获胜概率，比赛的规则是相邻的两个队伍进行比赛，输的直接淘汰，赢得继续，求哪个队伍获胜的概率最大。

所谓的相邻就是1和2    3和4    5和6 ....1和2打，如果1赢了，1再继续和3,4中的赢家比一次，这样，最后的赢家就打了n场比赛。 

 

用dp[ i ][ j ]表示第i次比赛，j赢得概率。

那么递推方程就是dp[ i ][ j ]+=dp[ i-1 ][ j ]*dp[ i-1 ][ k ]*p[ j ][ k ]；第i场比赛如果是j赢了，那么第i-1场j也是赢家，第i场比赛j应该和第i-1场的另一个相邻的赢家k比，且在第i场中j胜了，即p[ j ][ k ]

 

那么剩下的一个问题就是k是谁？

 

将1~（1<<n）个队伍编号为0~（1<<n-1）,假设n=3

 

第一场比赛：    

00   vs  01

10   vs 11

100 vs 101

110 vs 111

在第一场比赛队伍的二进制右起第0位是相反的（位数从零开始）

 

假设第一场中 胜利的是00、11、101、111，那么

第二场比赛

00   vs 11

101 vs 111

在这一场比赛中，参赛队伍的二进制右起第1位是相反的

 

此时大致的规律已经出来了，我们不妨再验证一下

假设第二场比赛胜利的是11、101，那么

第三场比赛

11  vs   101

参赛队伍二进制右起第2位是相反的

 

总的来说就应该是第i场比赛，参赛队伍二进制右起第i位是相反的，利用这一点我们就可以很好的确定k究竟是哪一个。

(j>>(i-1)^1)==(k>>(i-1))    表示的是对 j 的二进制（i-1）位取反与 k 的二进制的（i-1）位相比较 

（  1^1=0    ,  0^1=1  ）

 

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
double p[1<<7+1][1<<7+1],dp[8][1<<7+1];
int main()
{
	int n;
	while(cin>>n && n!=-1)
	{
		for(int i=0;i<(1<<n);i++)
		{
			for(int j=0;j<(1<<n);j++)
			{
				cin>>p[i][j];
			}
		}
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i=0;i<(1<<n);i++)
			dp[0][i] = 1;//第0场比赛时，每队赢的概率都是1 
		for(int i= 1;i<=n;i++)//打了n场比赛 
		{
			for(int j=0;j<(1<<n);j++)
			{
				for(int k = 0;k<(1<<n);k++)
				{
					if((j>>(i-1)^1)==(k>>(i-1)))
						dp[i][j]+=dp[i-1][j]*dp[i-1][k]*p[j][k];
				}
			}
		}
		double ans = -1;
		int k;
		for(int i=0;i<(1<<n);i++)
		{
			if(ans<dp[n][i])
			{
				ans = dp[n][i];
				k = i;
			}
		}
		cout<<k+1<<endl;
	}
	return 0;
}