C++ 最小生成树之Prim（普里姆）算法

最小生成树之Prim（普里姆）算法

最小生成树：是在一个给定的无向图G(V,E)中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的所有顶点，且所有边都是来自图G中的边，并且满足整棵树的边权之和最小。

如上图给出了一个图G及其最小生成树T，其中红色的线即为最小生成树的边。最小生成树T包含了图G中所有的顶点，且由它们生成的树的边权之和为15，是所有生成树中权值最小的。

最小生成树有3个性质：

（1）最小生成树是树，因此其边数等于定点数减1，且树内一定不会有环；

（2）对给定的图G(V,E)，其最小生成树可以不唯一，但是其边权之和一定是唯一的；

（3）由于最小生成树是无向图上生成的，因此其根结点可以是这棵树上的任意一个结点。

Prim算法

Prim算法是用来解决最小生成树问题的。

基本思想：对图G（V,E）设置集合S，存放已经被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点，优化所有从u能到达的顶点v与集合S之间的最短距离。这样的操作执行n次（n为顶点个数），直到集合S已包含所有顶点。

注意：可以发现，prim算法的思想和最短路径中Dijkstra算法的思想几乎完全相同，只是在涉及最短距离时使用了集合S代替Dijkstra算法中的起点s。

下面举例来说明一下prim是如何求最小生成树的。

假设从顶点V0开始， 当前集合V={V0,V1,V2,V3,V4,V5}（蓝色），集合S={}（黄色），顶点V0与集合S之间的距离为0，其它均为INF（一个很大的数） ：

（1）如图(a)，选择与集合S距离最小的顶点V0，将其加入到集合S中，并连接顶点V0与其它顶点的边，此时 集合V={V1,V2,V3,V4,V5}，集合S={V0}；

（2）如图(b)，选择与集合S距离最小的顶点V4， 将其加入到集合S中，并连接顶点V4与其它顶点的边，此时 集合V={V1,V2,V3,V5}，集合S={