求最大子段和——分治法

1、分治策略

（1）划分：按照平衡子问题的原则，将序列(a1, a2, …, an)划分成长度相同的两个子序列，则会出现以下三种情况：

（2）求解子问题：对于划分阶段的情况①和②可递归求解，情况③需要计算s1+s2：

  

（3）合并：比较在划分阶段的三种情况下的最大子段和，取三者之中的较大者为原问题的解。

2、示意图

3、代码实现

int maxSum(int data[], int first, int end)
{
	if (first == end)
		return data[first];
	else
	{
		int sum = 0;
		int mid = (first + end) / 2;
		int sumLeft = maxSum(data, first, mid);  //情况1
		int sumRight = maxSum(data, mid + 1, end);  //情况2
		//情况3：
		int s1 = 0, lefts = 0;
		for (int i = mid; i >= first; i--)
		{
			lefts += data[i];
			if (lefts > s1)
				s1 = lefts;
		}
		int s2 = 0, rights = 0;
		for (int i = mid + 1; i <= end; i++)
		{
			rights += data[i];
			if (rights > s2)
				s2 = rights;
		}

		sum = s1 + s2;
		if (sumLeft > sum)
			sum = sumLeft;
		if (sumRight > sum)
			sum = sumRight;
		
		return sum;  //情况1、2、3中，返回最大的那个
	}
}

int main(int argc, char *argv[])
{
	int data[20] = {0, -20, 11, -4, 13, -5, -2};  //第0个位置不用
	printf("最大子段和：%d", maxSum(data, 1, 6));

	system("pause");
	return 0;
}

4、时间复杂度

对情况①和②，需要分别递归求解，对应情况③，两个并列for循环的时间复杂性是O(n)，所以可得递推公式：

最终时间复杂度为：O(nlog2n)