动态规划

用于解决重叠子问题

1.01背包

【问题描述】有n个重量和价值为wi, vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。不能切割。

【算法】

【代码】非记忆型

记忆型递归，将映射记下来

【动态规划】 

2. 钢条切割

【递推】

【记忆型递推】 

【动态规划】 

全保留和保留和剩下的最大值

3. 在数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径， 使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。三角形的行数大于1小于等于100，数字为0 - 99

【dfs递归方法】 

【记忆型递归】 

【动态规划】 

可以用滚动数组来节约空间，覆盖没有用的数据

4.最长公共子序列（LCS） 

【双重循环+递归】

for   i   每个打头

        for    s2    找相同

                找到了：结果+递归结果----->比较

                没找到

【dp方程】

5. 完全背包问题

有n个重量和价值分别为wi，vi的物品， 从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

每种物品可以要多个

max(v[i]+dp[i][j-w[i]]，dp[i-1][j])   选当前行或者不选当前行

6.最长上升子序列问题

【暴力破解法】

 cnt初始化为1

【dp方法1】 

【dp方法2】 

dp[i] 长度为i的LIS的末尾的数 

1替换第一个比他大的数字，维持长度，相对较大的数作更大的贡献

优化：

扫描dp数组可以用二分法，因为有序，一直是替换第一个比他大的 ，在优化之后，可以达到O(NLgN)