泰勒公式理解

题目（下图为用泰勒公式求极限的简单例子）：极限的求导涉及相关知识点泰勒公式

一、泰勒公式是什么

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

二、泰勒公式简单理解

1.多项式的函数图像特点

展开来就是由于第一项、第二项和第三项都为常数，暂时不讨论，直接讨论后面的幂函数的特点，我们先来看y=x^3和y=x^2以及y=x^4和y=x^5的图像

可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于Y轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越快

然后接着看幂函数组成的多项式的图像（其中包括y=x^9+x^2以及加上阶层之后的y=x^9/9!+x^2/2!）：

 

 

后期可通过代码形式改变阶层的大小实现两个图像的逼近（）

 

2、用多项式对e^x函数图形进行逼近演示

 

3、用多项式对sin(x)函数图像进行逼近演示

三、泰勒公式的简单推导

下面通过微积分的方式来见到你打推导，先举一个例子：

比如f(x)=x^3的导函数为f’(x)=3x^2

但是倒过来，导函数f’(x)=3x^2的原函数为f(x)=x^3、f(x)=x^3+1、f(x)=x^3+2.....无穷多个

写成积分形式为：∫3x^2=x^3+C  

求导的过程中，我们虽然得到的函数今后的变化情况，但损失了一部分信息，就是原函数的初始值

原函数的信息=导函数的信息+初始值信息

所以我们在求解函数的时候加上初始值信息：

四、泰勒公式演变的好看图案（后期）