where do I turn?

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#ACM #算法 #线性代数

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本文介绍了一道CodeForces上的题目，通过向量的叉乘判断英雄从A点到B点后应转向的方向。利用叉乘的几何意义，仅需计算Z坐标确定方向。

原题链接：

http://codeforces.com/problemset/problem/227/A

题目大意：英雄从A点出发，到达B点，然后判断到达B点后应该左转（LEFT)，右转（RIGHT)，还是直接（TOWARDS)到达。

解题思路：这是一个判断C点在向量AB左边，右边还是直接在向量AB上面的问题。可以通过向量的叉乘来解题。叉乘的定义如下（摘自博客http://blog.youkuaiyun.com/dcrmg/article/details/52416832）：

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。

在此题目中向量AB与AC都位于XY轴所在的平面上，所以仅仅只要看生成后的Z的坐标，用向量AB叉乘向量AC，然后判断Z值的正负，及AB向量为（x1,y1），AC向量为（x2,y2）的话，只需要计算出上图中x1*y2-x2*y1的值的正负即可。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
	double a[3][2];
	for (int i=0; i<3; i++) {
		cin>>a[i][0]>>a[i][1];
	}
	double x1=a[1][0]-a[0][0];
	double y1=a[1][1]-a[0][1];
	double x2=a[2][0]-a[0][0];
	double y2=a[2][1]-a[0][1];
	double result = x1*y2-x2*y1;
	if (result == 0) cout<<"TOWARDS"<<endl;
	else if (result > 0) cout<<"LEFT"<<endl;
	else cout<<"RIGHT"<<endl;
	return 0;
}