Codeforces Hello 2019 F. Alex and a TV Show

最新推荐文章于 2022-01-13 17:53:13 发布

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分类专栏：莫比乌斯反演 Bitset 文章标签：莫比乌斯反演 Bitset

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/XianHaoMing/article/details/85880960

莫比乌斯反演同时被 2 个专栏收录

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本文探讨了一种解决复杂数学问题的算法竞赛策略，通过使用组合数学和莫比乌斯反演理论，有效地处理了涉及集合运算、倍数关系和模运算的问题。文章详细介绍了如何利用bitset进行高效计算，并提供了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Alex and a TV Show

Description

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Solution

设 $F_i(j)$ 表示第 $i$ 个集合中，是 $j$ 的倍数的数有多少个，我们对于每个集合只维护对应的 $F$ 。
现在考虑第三个操作，显然有 $F_x(j)=F_y(j)*F_z(j)$
现在考虑第二个操作，显然也有 $F_x(j)=F_y(j)+F_z(j)$
考虑第一个操作，显然有 $F_x(j)=[j|v]$
至于询问，由莫比乌斯反演可得 $Ans=\sum_{d}\mu(d)F_x(dv)$

注意到答案对 $2$ 取模，而按位乘，按位加刚好对应了二进制下的 $a n d$ 和 $x o r$ ，于是我们可以对于每个 $F$ 用 $b i t s e t$ 压起来，求答案时也是按位乘，最后询问时答案就是对应的bitset中 $1$ 的个数。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<bitset>

#define fo(i,j,l) for(int i=j;i<=l;++i)
#define fd(i,j,l) for(int i=j;i>=l;--i)

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e5+10,mo=1e9+7,V=7e3,K=V+1,P=500;

int n,q,op,x,y,z,oo;

int ys[K][P],gs[K];
bool bz[K];
int ss[K],mu[K];

bitset<K> f[N];
bitset<K> mm,uy;
bitset<K> g[K],h[K];

inline int read()
{
	int o=0; char ch=' ';
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())o=o*10+(ch^48);
	return o;
}

inline void prepare()
{
	mu[1]=1;
	fo(i,2,V){
		if(!bz[i])ss[++oo]=i,mu[i]=-1;
		fo(j,1,oo)if(i*ss[j]<=V){
			bz[i*ss[j]]=true;
			mu[ss[j]*i]=-mu[i];
			if(i%ss[j]==0){
				mu[i*ss[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
	mm=0;
	fo(i,1,V)if(mu[i]!=0)mm[i]=1;
	fo(i,1,V){
		int k=(int)sqrt(i);
		g[i]=0;
		fo(l,1,k)if(i%l==0){
			g[i][l]=1;
			g[i][i/l]=1;
		}
	}
	fo(i,1,V){
		h[i]=0;
		fo(l,1,V/i)h[i][l*i]=(mu[l]!=0);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&q);
	prepare();
	fo(i,1,q){
		op=read();
		if(op==1){
			x=read(); y=read();
			f[x]=g[y];
		}
		if(op==2){
			x=read(); y=read(); z=read();
			f[x]=f[y]^f[z];
		}
		if(op==3){
			x=read(); y=read(); z=read();
			f[x]=f[y]&f[z];
		}
		if(op==4){
			x=read(); y=read();
			uy=f[x]&h[y];
			int ans=(uy.count())%2;
			printf("%d",ans);
		}
	}
}