lct学习小记

前言

$lct$是我一直以来都不想接触的数据结构，就在最近，我终于把这个大坑填上了。

基本定义

边分成两种，轻边和重边。重边构成的链为重链，重链可以只为一个点。
在$lct$中，用一棵$splay$维护一条重链上的点，对于每一条轻边，必定有一端是连向一条重链上深度最小的点的，我们将这条轻边的信息记录在该重链对应的$splay$的$root$，具体的我们用$tfa_{root}$表示在这条重链中深度最小的点在树中的父亲。

$splay$的中序遍历为$1$的点为该$splay$代表的重链中深度最小的点，中序遍历为$2$的点为 该$splay$代表的重链 中深度次小的点，以此类推。

$fa_x$为在$splay$中的$x$的父亲，若$x$为该$splay$ 的$root$，则$fa_x=0$。
$splay(x,y)$表示在$splay$上将$x$不停上旋转直到成为$y$的儿子。

基本操作

1、$Access(x)$表示将$x$到根路径上的点全部放到一棵$splay$内。
2、$Makeroot(x)$表示使x成为它所在的树的根。
3、$Cut(x,y)$删除树边$(x,y)$。
4、$Link(x,y)$加入树边$(x,y)$。

操作实现

$Access(x)$
1、$splay(x,0)$，即将$x$旋转至所在树的根，同时断掉在$splay$上与右儿子的连边，并使右儿子的$tfa$变为$x$。
2、令$keep=x,x=tfa_x$，执行操作1，把$x$的右儿子变为$keep$，如此这般直至$x$变成该树的根。

//我可能打的比较丑
void Access(int o)
{
    splay(o,0);
    if(tag[o])down(o);
    tfa[rs[o]]=o; fa[rs[o]]=0; rs[o]=0;
    while(fa[o]+tfa[o]!=0){
        int x=tfa[o];
        splay(x,0);
        tfa[rs[x]]=x; fa[rs[x]]=0;
        rs[x]=o; fa[o]=x; tfa[o]=0;
        o=x;
    }
}

$Makeroot(x)$
1、$Access(x)$
2、$splay(x,0)$
3、给$x$所在的$splay$打上翻转标记，表示将重链上的点深度对称互换。

void Makeroot(int o)
{
    Access(o);
    splay(o,0); 
    tag[o]=1^tag[o];
}

$Cut(x,y)$
1，$Makeroot(x)$
2，$Access(y)$
3，$splay(y,0)$
4，在$splay$上，把$y$的左儿子(即$x$)的连边断掉。

void Cut(int x,int y)
{
    makeroot(x); access(y);
    splay(y,0);
    ls[y]=0; fa[x]=0; tfa[x]=0;
}

$Link(x,y)$
1，$Makeroot(x)$
2，令$tfa_x=y$

void Link(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    tfa[x]=y;
}