第二类斯特林数与自然数幂和

一般求法

一般求自然数幂和都会用到拉格朗日插值法，但仅当存在逆元的时候能用，给出一种用第二类斯特林数求自然数幂和的方法，时间复杂度是$O(k^2)$而不是$O(k\ log\ k)$的。

第二类斯特林数

众所周知，有

$$i^k=\sum_{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}{k}\\{j}\end{array}\right\}i^{\underline j}$$
于是乎我们有
$$F(n)=\sum_{i=1}^ni^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}{k}\\{j}\end{array}\right\}i^{\underline j}$$
$$F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}{k}\\{j}\end{array}\right\} j!\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)$$
$$F(n)=\sum_{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}{k}\\{j}\end{array}\right\} j!\sum_{i=j}^n\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)$$

我们又有

$$\sum_{i=j}^n\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{n+1}\\{j+1}\end{array}\right)$$
证明可以考虑组合意义，把$n$+$1$个数排成一排，考虑第一个选的数的位置，剩下的数中再选$j$个，就能得到上面的式子。
当然也可以用$\left(\begin{array}{c}{i}\\{j}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{i-1}\\{j-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{i-1}\\{j}\end{array}\right)$此式子依次展开上式即可。

接着式子就变成了

$$F(n)=\sum_{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}{k}\\{j}\end{array}\right\} j!\left(\begin{array}{c}{n+1}\\{j+1}\end{array}\right)$$
$$F(n)=\sum_{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}{k}\\{j}\end{array}\right\} \frac{(n+1)^{\underline {j+1}}}{j+1}$$

很明显$\frac{(n+1)^{\underline {j+1}}}{j+1}$一定是整数，因此就不需要逆元了，第二类斯特林数用$O(k^2)$计算出来，时间复杂度$O(k^2)$。