JZOJ 4685 礼物【NOIP2016提高A组8.12】

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#状压动规 #状态压缩 #动态规划 #期望

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本文介绍了一种状态压缩动态规划算法，用于解决特定条件下购买所有礼物的期望次数问题。适用于物品种类不多于20种的情况，通过巧妙的数学转换简化了计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

礼物

有个人经过商店，看见商店里有礼物，有 $n$ 种，突然间，消费欲暴增，他想买下全部礼物。
每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物，不拿出礼物也算一次购买），将第i种礼物拿出来，
问每种礼物都买到的期望次数。

样例输入

第一行表示 $n$ ，接下来 $n$ 行，表示 $P_1$ ~~ $P_n$
3
0.1
0.2
0.3

样例输出

一行，期望次数。
12.167

数据范围

$N$ ≤20， $0$ < $P_i$ ≤ $1$ 且 $\sum P_i$ ≤ $1$

题解

看到 $N$ ≤20，肯定是状态压缩动态规划了。
我们倒着过来做。
1表示没选，0表示选了，初始化 $F_0$ =0，答案为 $F_{2^n-1}$ 。
转移方程为

**$F_s$ = $\sum$ $F_{s'_i}$ * $P_i$ +(1- $\sum P_i$ )* $F_s$ +1**

其中 $S'_i$ = $S$ - $2^{i-1}$

但我们发现一个神奇的现象，转移方程两边都有 $F_s$ ，所以我们把右边的 $F_s$ 移去左边，得

**$\sum P_i$ $F_s$ = $\sum$ $F_{s'_i}$ $P_i$ +1**

所以

**$F_s$ = $\sum F_{s'_i}* P_i+1 \over\sum P_i$**

这样右边就不含 $F_s$ ，可以转移。
答案为 $F_{2^n-1}$ 。

Code(Pascal)

var
    c:array[0..30] of longint;
    n,m,j,l,i,ff:longint;
    ans:int64;
    k,o,u,yyy,kkk:extended;
    f:array[0..2500000] of extended;
    p:array[0..100] of extended;
    w:array[0..100] of int64;
begin
    readln(N);
    for i:=1 to n do
    readln(p[i],w[i]);
    c[1]:=1;
    for i:=2 to n do
    c[i]:=c[i-1]*2;
    for i:=1 to c[n]*2-1 do
    begin
        k:=0;
        for l:=1 to n do
        if i and c[l]>0 then
        begin
            f[i]:=f[i]+f[i-c[l]]*p[l];
            k:=k+p[l];
        end;
        f[i]:=f[i]+1;
        f[i]:=f[i]/k;
    end;
    ans:=0;
    for i:=1 to n do
    ans:=ans+w[i];
    writeln(ans);
    writeln(f[c[n]*2-1]:0:3);
end.