GDOI 2016 Day1 第一题 中学生数学题 解题报告

题目大意

给出三个数$n_0$（$n_0$>0且为整数）、$p_0$和$k$。
第一问：
满足$n$=$\lfloor n_0-kp \rfloor$，问$n$*($p$-$p_0$)的最大值。（$n$为正整数）
第二问：
满足$n_1$=$\lfloor n_0-kp_1 \rfloor$，$n_2$=$\lfloor n_0-kp_2 \rfloor - n_1$($p_1$>$p_2$)，求$n_1$ * ($p_1$-$p_0$)+ $n_2$*($p_2$-$p_0$)的最大值。
（$n_1$和$n_2$均为正整数）

输入格式

一行，三个数，$n_0$、$p_0$和$k$。

输出格式

一行两个小数，中间用空格隔开，各保留三位小数。

样例输入

样例1

4 1 1

样例2

4 0 1

样例输出

样例1

2.000 3.000

样例2

4.000 5.000

数据范围

第一问

第一问，很简单。
对于一个值固定的$n$，可以推算出$p$的最大值为$n_0-n\over k$，这样的话我们就可以直接枚举$n$，求出对应的$p$，统计最大值即可。
现在讲一下$O_{(1)}$的算法。
数形结合。
化成一次函数图像大概是这个样子。

横轴是$n$，纵轴是$p$。
不难发现，棕色阴影部分的面积就等于($n0-n\over k$-$p_0$)*$n$。
所以现在问题变成了，选一个$n$，使得棕色阴影部分面积最大。

易证，要使面积最大，$E$点肯定是选在线段$C$$D$的中点，此时面积等于三角形$P_0$$C$$D$的一半。

此时点$E'$即为线段$C$$D$的中点，绿色面积即为最大阴影面积。
求$E'$点对应横坐标$n$即可，$n$可能不是整数，因此要取它最靠近的两个整数对应的答案的最大值。

第一个问就解决了。

第二问

第二问，在枚举$n_1$的基础上，可以发现$n_2$*($n_0-n2 \over k$-$p$)的值呈一个单峰二次函数图像，可以用三分枚举最优的$n_2$，统计最大值即可。
接下来我们还是讲一下$O_{(1)}$的算法。
依旧是数形结合。
依然是一个函数图像。
呵呵。
估计你会晕。

第二问的答案为($n_0-n_1\over k$-$p_0$)* $n_1$+($n_0-n_2 \over k$-$p_0$)*$n_2$，也就是黄色的面积加上紫色的面积。
如何让面积和最大化呢？
一个的时候取线段$C$$D$的中点，那么两个的时候，便取线段$C$$D$的三等分点，此时面积和最大。（至于证明吗，呵呵我不会）
如图，点$E'$和点$E''$为线段$C$$D$的三等分点。
这时我们只需找到对应的$n_1$和$n_2$，将$n_1$和$n_2$化成整数，就可以直接求出最佳答案了。