Harmonic Number （调和级数）

最新推荐文章于 2019-08-11 15:06:46 发布

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分类专栏：数论文章标签：调和级数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/XYBDX/article/details/98972242

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该博客介绍了数学中的调和级数概念，并提供了如何计算第n个调和数Hn的方法。当n较大时，可以通过欧拉的近似公式Hn ≈ ln(n) + C + 1/2 * n来估算，其中C是欧拉常数。还提到了在C++中可以使用math库中的log函数进行计算，或者通过预先计算并存储一定数量的调和数来快速查找结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

In mathematics, the nth harmonic number is the sum of the reciprocals of the first n natural numbers:

In this problem, you are given n, you have to find Hn.

Input

Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 108).

Output

For each case, print the case number and the nth harmonic number. Errors less than 10-8 will be ignored.

Sample Input

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

90000000

99999999

100000000

Sample Output

Case 1: 1

Case 2: 1.5

Case 3: 1.8333333333

Case 4: 2.0833333333

Case 5: 2.2833333333

Case 6: 2.450

Case 7: 2.5928571429

Case 8: 2.7178571429

Case 9: 2.8289682540

Case 10: 18.8925358988

Case 11: 18.9978964039

Case 12: 18.9978964139

题目大意：求f(n)=1/1+1/2+1/3+1/4…1/n (1 ≤ n ≤ 108).，精确到10-8
思路：

调和级数(即f(n))至今没有一个完全正确的公式，但欧拉给出过一个近似公式：(n很大时)

f(n)≈ln(n)+C+1/2*n

欧拉常数值：C≈0.57721566490153286060651209

c++ math库中，log即为ln。

或者直接打表：将每100个数，存在数组中。

打表：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
double a[1000010];
void solve()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    int r=1;
    double s=0;
    for(int i=1; i<100000010; i++)
    {
        s+=(1.0/i);
        if(i%100==0)
            a[r++]=s;
    }
}
int main()
{
    int t;
    solve();
    int o=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int x=n/100;
        double ans=a[x];
        for(int i=x*100+1; i<=n; i++)
            ans+=(1.0/i);
        printf("Case %d: %.10lf\n",o++,ans);
    }
    return 0;
}