2018CCPC女生赛 C 二分+取整Log

最新推荐文章于 2024-10-21 13:12:25 发布

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本文介绍了一种使用二分查找法解决特定形式数学不等式的方法，针对给定的a,b,K参数，求解n的最大值使不等式成立。通过自定义乘法函数和对数计算过程，有效避免了数值运算中的溢出和精度问题。

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题目链接

题意：
给定三个整数 $a, b, K$ ，求使得 $n^a {\lceil log_2n\rceil}^b <= K$ 的 $n$ 的最大值。

思路：
因为函数单调，显然可以直接二分 $n$ 去验证。

此题有两个需要注意的地方：
一是对于log以2为底的函数取整，不能直接使用log函数来求，会带来精度的误差。需要模拟计算过程对2重复做除法。
二是 $k$ 的范围最大为 $1 e 18$ ，使用乘法的过程中可能会产生溢出，故需要自定义乘法函数，用来避免计算的溢出，具体实现可参考代码。

此题得解。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;

ll a,b,K;

ll Mul(ll a,ll b){
    if(!a || !b) return 0;
    if(a>(K+5)/b) return K+5;
    a *= b;
    return a>(K+5)?K+5:a;
}

ll GetLog(ll x){
    ll y = x;
    while(y%2 == 0) y/=2;
    ll res = 0;
    while(x>1) x/=2,res++;
    if(y>1) res++;
    return res;
}

ll Pow(ll n,ll m){
    ll res = 1;
    while(m--){
        res = Mul(res,n);
    }
    return res;
}

bool check(ll n){
    if(Mul(Pow(n,a),Pow(GetLog(n),b)) <= K) return true;
    return false;
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&K);
        ll l = 1,r = K,ans = 0;
        while(l<=r){
            ll mid = (l+r)>>1;
            if(check(mid)){
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            }
            else r = mid - 1;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}