本文详细介绍了快速排序、归并排序、二分查找、高精度计算、前缀和与差分等基础算法及其应用。通过实例展示了如何使用这些算法解决实际问题，如数组排序、区间和计算、子序列查找等。此外，还涵盖了双指针算法和位运算在数组操作中的应用。
来自：算法基础课
第一讲 基础算法
1.1快速排序
快速排序算法模板 —— 模板题 AcWing 785. 快速排序
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
if (l >= r) return;
int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
while (i < j)
{
do i ++ ; while (q[i] < x);
do j -- ; while (q[j] > x);
if (i < j) swap(q[i], q[j]);
}
quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}
1.1.1 785. 快速排序
给定你一个长度为 n 的整数数列。
请你使用快速排序对这个数列按照从小到大进行排序。
并将排好序的数列按顺序输出。
输入格式
输入共两行，第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼109 范围内），表示整个数列。
输出格式
输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。
数据范围
1≤n≤100000
输入样例：
5
3 1 2 4 5
输出样例：
1 2 3 4 5
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int A[N];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>A[i];
}
sort(A,A+n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
cout<<A[i]<<" ";
}
return 0;
}
1.1.2 786. 第k个数
给定一个长度为 n 的整数数列，以及一个整数 k，请用快速选择算法求出数列从小到大排序后的第 k 个数。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 k。
第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼109 范围内），表示整数数列。
输出格式
输出一个整数，表示数列的第 k 小数。
数据范围
1≤n≤100000,
1≤k≤n
输入样例：
5 3
2 4 1 5 3
输出样例：
3
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,k;
int A[N];
int main()
{
cin>>n>>k;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>A[i];
}
sort(A,A+n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(i+1==k)
{
cout<<A[i];
break;
}
}
return 0;
}
1.2归并排序
归并排序算法模板 —— 模板题 AcWing 787. 归并排序
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
if (l >= r) return;
int mid = l + r >> 1;
merge_sort(q, l, mid);
merge_sort(q, mid + 1, r);
int k = 0, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r)
if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}
1.2.1 787. 归并排序
给定你一个长度为 n 的整数数列。
请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。
并将排好序的数列按顺序输出。
输入格式
输入共两行，第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼109 范围内），表示整个数列。
输出格式
输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。
数据范围
1≤n≤100000
输入样例：
5
3 1 2 4 5
输出样例：
1 2 3 4 5
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
int A[N];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>A[i];
}
sort(A,A+n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
cout<<A[i]<<" ";
}
return 0;
}
1.2.2 788. 逆序对的数量
给定一个长度为 n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。
逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。
输入格式
第一行包含整数 n，表示数列的长度。
第二行包含 n 个整数，表示整个数列。
输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。
数据范围
1≤n≤100000
输入样例：
6
2 3 4 5 6 1
输出样例：
5
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100010;
int n;
LL ans=0;
int A[N],temp[N];
LL merge_sort(int q[],int l,int r)
{
if(l>=r)
{
return 0;
}
int mid=(l+r)/2;
LL res=merge_sort(q,l,mid)+merge_sort(q,mid+1,r);
int k=0,i=l,j=mid+1;
while(i<=mid&&j<=r)
{
if(q[i]<=q[j])
{
temp[k++]=q[i++];
}
else
{
res+=mid-i+1;
temp[k++]=q[j++];
}
}
while(i<=mid)
{
temp[k++]=q[i++];
}
while(j<=r)
{
temp[k++]=q[j++];
}
for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++)
{
q[i]=temp[j];
}
return res;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>A[i];
}
cout<<merge_sort(A,0,n-1);
return 0;
}
1.3二分
整数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 789. 数的范围
bool check(int x) {/* … */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
浮点数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 790. 数的三次方根
bool check(double x) {/* … */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
1.3.1 789. 数的范围
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,q;
int A[N],st[N],ed[N];
bool K[N]={false};
map<int,pair<int,int> >mp;
int main()
{
cin>>n>>q;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>A[i];
K[A[i]]=true;
if(i==0)
{
st[i]=0;
}
else
{
if(A[i]==A[i-1])
{
st[i]=st[i-1];
}
else
{
st[i]=i;
}
}
}
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
if(i==n-1)
{
ed[i]=i;
}
else
{
if(A[i]==A[i+1])
{
ed[i]=ed[i+1];
}
else
{
ed[i]=i;
}
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
mp[A[i]]=make_pair(st[i],ed[i]);
}
while(q--)
{
int k;
cin>>k;
if(K[k]==false)
{
cout<<"-1 -1"<<endl;
}
else
{
cout<<mp[k].first<<" "<<mp[k].second<<endl;
}
}
return 0;
}
1.3.2 790. 数的三次方根
给定一个浮点数 n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00
输出样例：
10.000000
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double N=10000,eps=1e-8;
double n;
bool check(double mid)
{
mid=mid*mid*mid;
if(n>mid)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
double seg(double l,double r)
{
while(r-l>eps)
{
double mid=(l+r)/2;
if(check(mid))
{
l=mid;
}
else
{
r=mid;
}
}
return l;
}
int main()
{
cin>>n;
printf("%.6f",seg(-N,N));
return 0;
}
1.4高精度
高精度加法 —— 模板题 AcWing 791. 高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
if (t) C.push_back(t);
return C;
}
高精度减法 —— 模板题 AcWing 792. 高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
vector<int> C;
for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t = A[i] - t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);
if (t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
高精度乘低精度 —— 模板题 AcWing 793. 高精度乘法
// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
高精度除以低精度 —— 模板题 AcWing 794. 高精度除法
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
vector<int> C;
r = 0;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
{
r = r * 10 + A[i];
C.push_back(r / b);
r %= b;
}
reverse(C.begin(), C.end());
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
1.4.1 791. 高精度加法
给定两个正整数，计算它们的和。
输入格式
共两行，每行包含一个整数。
输出格式
共一行，包含所求的和。
数据范围
1≤整数长度≤100000
输入样例：
12
23
输出样例：
35
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct bign{
int d[N];
int len;
bign()
{
memset(d,0,sizeof(d));
len=0;
}
};
bign change(string str)
{
bign a;
a.len=str.length();
for(int i=0;i<str.length();i++)
{
a.d[i]=str[a.len-i-1]-'0';
}
return a;
}
bign add(bign a,bign b)
{
bign c;
int carry=0;
for(int i=0;i<a.len||i<b.len;i++)
{
int temp=a.d[i]+b.d[i]+carry;
c.d[c.len++]=temp%10;
carry=temp/10;
}
if(carry!=0)
{
c.d[c.len++]=carry;
}
return c;
}
void print(bign a)
{
for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
{
cout<<a.d[i];
}
}
int main()
{
bign a,b;
string sa,sb;
cin>>sa>>sb;
a=change(sa),b=change(sb);
print(add(a,b));
return 0;
}
1.4.2 792. 高精度减法
给定两个正整数，计算它们的差，计算结果可能为负数。
输入格式
共两行，每行包含一个整数。
输出格式
共一行，包含所求的差。
数据范围
1≤整数长度≤105
输入样例：
32
11
输出样例：
21
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct bign{
int d[N];
int len;
bign()
{
memset(d,0,sizeof(d));
len=0;
}
};
bign change(string str)
{
bign a;
a.len=str.length();
for(int i=0;i<str.length();i++)
{
a.d[i]=str[a.len-i-1]-'0';
}
return a;
}
int compare(bign a,bign b)
{
if(a.len>b.len)
{
return 1;
}
else if(a.len<b.len)
{
return -1;
}
else
{
for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
{
if(a.d[i]>b.d[i])
{
return 1;
}
else
{
if(a.d[i]<b.d[i])
{
return -1;
}
}
}
return 0;
}
}
bign sub(bign a,bign b)
{
bign c;
int carry=0;
for(int i=0;i<a.len||i<b.len;i++)
{
if(a.d[i]<b.d[i])
{
a.d[i+1]--;
a.d[i]+=10;
}
c.d[c.len++]=a.d[i]-b.d[i];
}
while(c.len-1>=1&&c.d[c.len-1]==0)
{
c.len--;
}
return c;
}
void print(bign a)
{
for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
{
cout<<a.d[i];
}
}
int main()
{
bign a,b;
string sa,sb;
cin>>sa>>sb;
a=change(sa),b=change(sb);
if(compare(a,b)>0)
{
print(sub(a,b));
}
else if(compare(a,b)<0)
{
cout<<"-";
print(sub(b,a));
}
else
{
cout<<0;
}
return 0;
}
1.4.3 793. 高精度乘法
给定两个正整数 A 和 B，请你计算 A×B 的值。
输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。
输出格式
共一行，包含 A×B 的值。
数据范围
1≤A的长度≤100000,
0≤B≤10000
输入样例：
2
3
输出样例：
6
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct bign{
int d[N];
int len;
bign()
{
memset(d,0,sizeof(d));
len=0;
}
};
bign change(string str)
{
bign a;
a.len=str.length();
for(int i=0;i<str.length();i++)
{
a.d[i]=str[a.len-i-1]-'0';
}
return a;
}
bign multi(bign a,int b)
{
bign c;
int carry=0;
for(int i=0;i<a.len;i++)
{
int temp=a.d[i]*b+carry;
c.d[c.len++]=temp%10;
carry=temp/10;
}
while(carry!=0)
{
c.d[c.len++]=carry%10;
carry/=10;
}
return c;
}
void print(bign a)
{
for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
{
cout<<a.d[i];
}
}
int main()
{
bign a;
int b;
string sa;
cin>>sa>>b;
a=change(sa);
if(b==0)
{
cout<<0;
}
else
{
print(multi(a,b));
}
return 0;
}
1.4.4 794. 高精度除法
给定两个非负整数 A，B，请你计算 A/B 的商和余数。
输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。
输出格式
共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。
数据范围
1≤A的长度≤100000,
1≤B≤10000,
B 一定不为 0
输入样例：
7
2
输出样例：
3
1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct bign{
int d[N];
int len;
bign()
{
memset(d,0,sizeof(d));
len=0;
}
};
bign change(string str)
{
bign a;
a.len=str.length();
for(int i=0;i<str.length();i++)
{
a.d[i]=str[a.len-i-1]-'0';
}
return a;
}
bign divide(bign a,int b,int &r)
{
bign c;
c.len=a.len;
for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
{
r=r*10+a.d[i];
if(r<b)
{
c.d[i]=0;
}
else
{
c.d[i]=r/b;
r=r%b;
}
}
while(c.len-1>=1&&c.d[c.len-1]==0)
{
c.len--;
}
return c;
}
void print(bign a)
{
for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
{
cout<<a.d[i];
}
}
int main()
{
bign a;
int b;
string sa;
cin>>sa>>b;
a=change(sa);
int r;
print(divide(a,b,r));
cout<<endl<<r;
return 0;
}
1.5前缀和与差分
一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + … a[i]
a[l] + … + a[r] = S[r] - S[l - 1]
二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
一维差分 —— 模板题 AcWing 797. 差分
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
二维差分 —— 模板题 AcWing 798. 差分矩阵
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
1.5.1 795. 前缀和
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int sum[N];
int n,m;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
cin>>x;
sum[i]=sum[i-1]+x;
}
while(m--)
{
int l,r;
cin>>l>>r;
cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
1.5.2 796. 子矩阵的和
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int sum[N][N];
int n,m,q;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int x;
cin>>x;
sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+x;
}
}
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
cout<<sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]<<endl;
}
return 0;
}
1.5.3 797. 差分
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int B[N],A[N];
int n,m;
void myinsert(int l,int r,int c)
{
B[l]+=c;
B[r+1]-=c;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>A[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
myinsert(i,i,A[i]);
}
while(m--)
{
int l,r,c;
cin>>l>>r>>c;
myinsert(l,r,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
B[i]+=B[i-1];
cout<<B[i]<<" ";
}
return 0;
}
1.5.4 798. 差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
void myinsert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
b[x1][y1]+=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
cin>>a[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
myinsert(i,j,i,j,a[i][j]);
}
}
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2,c;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
myinsert(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
b[i][j]=b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
cout<<b[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
1.6双指针算法
双指针算法 —— 模板题 AcWIng 799. 最长连续不重复子序列, AcWing 800. 数组元素的目标和
for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
// 具体问题的逻辑
}
常见问题分类：
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作
1.6.1 799. 最长连续不重复子序列
给定一个长度为 n 的整数序列，请找出最长的不包含重复的数的连续区间，输出它的长度。
输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数（均在 0∼105 范围内），表示整数序列。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示最长的不包含重复的数的连续区间的长度。
数据范围
1≤n≤105
输入样例：
5
1 2 2 3 5
输出样例：
3
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
int a[N],s[N]={0};
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
int ans=0;
for(int i=0,j=0;i<n;i++)
{
s[a[i]]++;
while(s[a[i]]>1)
{
s[a[j]]--;
j++;
}
ans=max(ans,i-j+1);
}
cout<<ans;
return 0;
}
1.6.2 800. 数组元素的目标和
给定两个升序排序的有序数组 A 和 B，以及一个目标值 x。
数组下标从 0 开始。
请你求出满足 A[i]+B[j]=x 的数对 (i,j)。
数据保证有唯一解。
输入格式
第一行包含三个整数 n,m,x，分别表示 A 的长度，B 的长度以及目标值 x。
第二行包含 n 个整数，表示数组 A。
第三行包含 m 个整数，表示数组 B。
输出格式
共一行，包含两个整数 i 和 j。
数据范围
数组长度不超过 105。
同一数组内元素各不相同。
1≤数组元素≤109
输入样例：
4 5 6
1 2 4 7
3 4 6 8 9
输出样例：
1 1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],b[N];
int n,m,x;
int main()
{
cin>>n>>m>>x;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
cin>>b[i];
}
for(int i=0,j=m-1;i<n;i++)
{
while(a[i]+b[j]>x)
{
j--;
}
if(a[i]+b[j]==x)
{
cout<<i<<" "<<j;
break;
}
}
return 0;
}
1.6.3 2816. 判断子序列
给定一个长度为 n 的整数序列 a1,a2,…,an 以及一个长度为 m 的整数序列 b1,b2,…,bm。
请你判断 a 序列是否为 b 序列的子序列。
子序列指序列的一部分项按原有次序排列而得的序列，例如序列 {a1,a3,a5} 是序列 {a1,a2,a3,a4,a5} 的一个子序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n,m。
第二行包含 n 个整数，表示 a1,a2,…,an。
第三行包含 m 个整数，表示 b1,b2,…,bm。
输出格式
如果 a 序列是 b 序列的子序列，输出一行 Yes。
否则，输出 No。
数据范围
1≤n≤m≤105,
−109≤ai,bi≤109
输入样例：
3 5
1 3 5
1 2 3 4 5
输出样例：
Yes
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int a[N],b[N];
bool s[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
cin>>b[i];
}
int j=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(;j<m;j++)
{
if(a[i]==b[j])
{
s[i]=true;
j++;
break;
}
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(s[i]==false)
{
cout<<"No";
return 0;
}
}
cout<<"Yes";
return 0;
}
1.7位运算
位运算 —— 模板题 AcWing 801. 二进制中1的个数
求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n
1.7.1 801. 二进制中1的个数
给定一个长度为 n 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 1 的个数。
输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数，表示整个数列。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，其中的第 i 个数表示数列中的第 i 个数的二进制表示中 1 的个数。
数据范围
1≤n≤100000,
0≤数列中元素的值≤109
输入样例：
5
1 2 3 4 5
输出样例：
1 1 2 1 2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x;
cin>>x;
int ans=0;
while(x)
{
x-=lowbit(x);
ans++;
}
cout<<ans<<" ";
}
return 0;
}
1.8离散化
离散化 —— 模板题 AcWing 802. 区间和
vector alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}
1.8.1 802. 区间和
假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。
现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。
接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r] 之间的所有数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 n 行，每行包含两个整数 x 和 c。
再接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。
数据范围
−109≤x≤109,
1≤n,m≤105,
−109≤l≤r≤109,
−10000≤c≤10000
输入样例：
3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8
输出样例：
8
0
5
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300010;
typedef pair<int,int> PII;
int n,m;
vector<int> alls;
int a[N]={0},b[N]={0};
vector<PII> in,query;
int myfind(int x)
{
int l=0,r=alls.size()-1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(alls[mid]>=x)
{
r=mid;
}
else
{
l=mid+1;
}
}
return r+1;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x,c;
cin>>x>>c;
alls.push_back(x);
in.push_back(make_pair(x,c));
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
int l,r;
cin>>l>>r;
alls.push_back(l),alls.push_back(r);
query.push_back(make_pair(l,r));
}
sort(alls.begin(),alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x=myfind(in[i].first);
a[x]+=in[i].second;
}
//***
for(int i=1;i<=alls.size();i++)
{
b[i]=b[i-1]+a[i];
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
int l=myfind(query[i].first),r=myfind(query[i].second);
cout<<b[r]-b[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
1.9区间合并
区间合并 —— 模板题 AcWing 803. 区间合并
// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
vector<PII> res;
sort(segs.begin(), segs.end());
int st = -2e9, ed = -2e9;
for (auto seg : segs)
if (ed < seg.first)
{
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
st = seg.first, ed = seg.second;
}
else ed = max(ed, seg.second);
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
segs = res;
}
1.9.1 803. 区间合并
给定 n 个区间 [li,ri]，要求合并所有有交集的区间。
注意如果在端点处相交，也算有交集。
输出合并完成后的区间个数。
例如：[1,3] 和 [2,6] 可以合并为一个区间 [1,6]。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含两个整数 l 和 r。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示合并区间完成后的区间个数。
数据范围
1≤n≤100000,
−109≤li≤ri≤109
输入样例：
5
1 2
2 4
5 6
7 8
7 9
输出样例：
3
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
typedef pair<int,int> PII;
int n;
PII a[N];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int l,r;
cin>>l>>r;
a[i]=make_pair(l,r);
}
sort(a,a+n);
int ans=1,r=a[0].second;
for(int i=1;i<n;i++)
{
if(a[i].first>r)
{
ans++;
r=a[i].second;
}
else if(a[i].first<=r)
{
r=max(r,a[i].second);
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
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