【GDOI2017模拟9.21】三色图

最新推荐文章于 2018-07-18 19:57:33 发布

WorldWide_D

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分类专栏：构造题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WorldWide_D/article/details/52653039

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探讨了在一个二分图中，如何给每条边染上0、1、2三种颜色之一，使得与每个顶点相邻的所有边的颜色之和模3的结果各不相同。文章提供了一种有效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

只能说萎靡太强。
世界是不公平的，我们很容易去解决2-SAT但却难以解决3-SAT。
为了捍卫3的地位，我们来一道3比2简单的题目。
现在你有一个二分图（不懂问富爷），你有三种颜色0,1,2，然后你要给图上的每一条边染一种颜色（也就是赋予该边一个0,1,2）的边权。
我们定义点权s(u)，其大小为所有与u相连的边的边权之和模三。
举个例子：对于，一副含有边(1,2),(2,3)若两条边分别染色为2，１，则s(1) = 2, s(2) = 0, s(3) = 1
你需要给出一种染色方案，使得对于该图任意一对通过一条边直接相连的点对点权不同（上述例子为一个可行方案）。

Input

数据第一行为三个正整数n1,n2,m,分别表示二分图两个部分的点数分别为n1,n2，边数为m
接下来m行，每行两个整数x(1 <= x <= n1),y(1 <= y <= n2)表示x，y之间存在一条边

Output

输出第一行，Yes表示存在方案，No表示不存在
若存在，接下来一行输出m个数（0,1,2），表示m条边的染色方案，边的顺序为输入顺序

Data Constraint

20% m<=20
40% n<=100, m <= 3000
100% n <= 1500, m <= 10000

结论

没错，这是构造题。

结论：对于二分图的每个联通块，如果A集B集大小都等于1则无解，否则必然有一组解，使得A集中的所有点权均为0，B集中的均不为0。

分析

考虑每个联通块。
首先A集B集大小都为1，肯定无论怎样分配，两个点的权值都相等。
然后考虑有解的情况，可以给Ｂ集中的点两两配成 $\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor$ 对（n为B集点数）。对于每一对点(x,y)，任意找一条联通它们的路径，路径上正好有偶数条边，每条边的边权按1,2,1,2顺序染色，最终只改变了x,y的权值，其它权值恰好加3，相当于没变。
然而当n是奇数的时候，会多出一个点，这个点和任意一个点i配对，注意不要使i的权值变成0即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn=3005,maxm=20005;

typedef long long LL;

int n,N,m,tot,s1,s2,tu_color[maxm],h[maxn],e[maxm],next[maxm],id[maxm],d1[maxn],d2[maxn],calc,v[maxn];

bool visit[maxn];

void add(int x,int y,int I)
{
    e[++tot]=y; next[tot]=h[x]; id[tot]=I; h[x]=tot;
}

void dfs(int x)
{
    visit[x]=1;
    if (x<=n) d1[s1++]=x;else d2[s2++]=x;
    for (int i=h[x];i;i=next[i]) if (!visit[e[i]]) dfs(e[i]);
}

bool dye(int x,int g,int color)
{
    v[x]=calc;
    if (x==g) return 1;
    for (int i=h[x];i;i=next[i]) if (v[e[i]]<calc && dye(e[i],g,3-color))
    {
        tu_color[id[i]]+=color; return 1;
    }
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&N,&m);
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,n+y,i); add(n+y,x,i);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!visit[i])
    {
        s1=s2=0;
        dfs(i);
        if (s1<s2)
        {
            s1^=s2^=s1^=s2;
            memcpy(d1,d2,sizeof(d1));
        }
        if (s2==1)
        {
            printf("No\n"); return 0;
        }
        for (int j=1;j<s1;j+=2)
        {
            calc++;
            dye(d1[j-1],d1[j],1);
        }
        if (s1&1)
        {
            calc++;
            dye(d1[s1-3],d1[s1-1],1);
        }
    }
    printf("Yes\n");
    for (int i=0;i<m;i++) printf("%d ",tu_color[i]%3);
    return 0;
}