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最新推荐文章于 2019-03-23 21:34:00 发布

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点分治

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本文介绍了一种解决二叉树中特定条件下的点到指定点最短路径之和的问题。通过使用点剖技术和重心树的概念，实现了一个在线查询算法。该算法能够有效地处理大量查询请求，并保持较低的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给出一个n个点的二叉树。每个点、每条边都有一个权值。接下来Q个询问，每次询问所有权值为l..r之间的点到点u的最短距离之和。
题目强制在线

Data Constraint

n≤150000 Q≤200000 点权为非负整数且最大不超过 $10^9$

Limits

Time Limits: 7s Memory Limits: 512MB

分析

这种题显然可以用点剖做。
现在有一个问题：怎样统计一个重心树中一个子树里点权在l..r的点的答案。

点剖构出来的重心树，它的每个节点的子树的大小之和是 $nlog(n)$ 的

然后这棵树又是二叉树，所以每个节点的度≯3。

所以我们可以对重心树上每个节点的每个子树上的所有点权都从小到大存起来。查询时就可以二分一下，然后距离和就是一个前缀和了。

时间复杂度 $O(Qlog^2(n))$ 空间复杂度 $O(nlog(n))$

include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int maxn=150005,maxm=300005,Log=18;

typedef long long LL;

int n,tot,m,A,Size,h[maxn],next[maxm],e[maxm],dis[maxm],age[maxn],rmq[maxm][Log+1],dep[maxn],last[maxn],Dep[maxn];

int root,v,size[maxn],fa[maxn],id[maxn],l[maxn][3],r[maxn][3],s[maxn],seq[maxn*Log];

bool visit[maxn];

LL ans,sum[maxn*Log];

char c;

int read()
{
    int x=0;
    for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar());
    for (;c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;
    return x;
}

bool cmp(int x,int y)
{
    return age[x]<age[y];
}

void add(int x,int y,int c)
{
    e[++tot]=y; next[tot]=h[x]; dis[tot]=c; h[x]=tot;
}

void init(int x,int fa)
{
    dep[x]=dep[fa]+1; rmq[last[x]=tot++][0]=x;
    for (int i=h[x];i;i=next[i]) if (e[i]!=fa)
    {
        Dep[e[i]]=Dep[x]+dis[i]; init(e[i],x); rmq[last[x]=tot++][0]=x;
    }
}

int get_lca(int x,int y)
{
    x=last[x]; y=last[y];
    if (x>y) x^=y^=x^=y;
    int k=log(y-x+1)/log(2);
    return (dep[rmq[x][k]]<=dep[rmq[y-(1<<k)+1][k]])?rmq[x][k]:rmq[y-(1<<k)+1][k];
}

int get_dis(int x,int y)
{
    return Dep[x]+Dep[y]-2*Dep[get_lca(x,y)];
}

void find(int x,int y)
{
    int M=0; size[x]=0;
    for (int i=h[x];i;i=next[i]) if (e[i]!=y && !visit[e[i]])
    {
        find(e[i],x);
        size[x]+=size[e[i]]+1;
        M=max(M,size[e[i]]);
    }
    M=max(M,Size-size[x]-1);
    if (M<v)
    {
        root=x; v=M;
    }
}

void get(int x,int y)
{
    seq[++tot]=x;
    for (int i=h[x];i;i=next[i]) if (e[i]!=y && !visit[e[i]]) get(e[i],x);
}

int dfs(int x)
{
    v=maxn;
    find(x,0);
    int R=root;
    visit[R]=1;
    for (int i=h[R];i;i=next[i]) if (!visit[e[i]])
    {
        l[R][s[R]]=tot+1;
        get(e[i],R);
        r[R][s[R]]=tot;
        sort(seq+l[R][s[R]],seq+tot+1,cmp);
        for (int i=l[R][s[R]];i<=tot;i++) sum[i]=sum[i-1]+get_dis(seq[i],R);
        Size=tot-l[R][s[R]]+1;
        int t=dfs(e[i]);
        fa[t]=R; id[t]=s[R]++;
    }
    return R;
}

int Find(int l,int r,int x)
{
    for (int mid=(l+r)/2;l<r;mid=(l+r)/2)
        if (age[seq[mid]]>x) r=mid;else l=mid+1;
    return l-(age[seq[l]]>x);
}

LL calc(int x,int v)
{
    int cnt,t; LL Sum,ans=0,last=-1;
    for (int i=x;i;last=id[i],i=fa[i])
    {
        Sum=0; cnt=(age[i]<=v);
        for (int j=0;j<s[i];j++) if (j!=last)
        {
            t=Find(l[i][j],r[i][j],v);
            cnt+=t-l[i][j]+1; Sum+=sum[t]-sum[l[i][j]-1];
        }
        ans+=Sum+(LL)cnt*get_dis(i,x);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    freopen("shop.in","r",stdin); freopen("shop.out","w",stdout);
    n=read(); m=read(); A=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) age[i]=read();
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),c=read();
        add(x,y,c); add(y,x,c);
    }
    tot=0;
    init(1,0);
    for (int j=1;j<=Log;j++)
        for (int i=0;i<=tot-(1<<j);i++)
            rmq[i][j]=(dep[rmq[i][j-1]]<=dep[rmq[i+(1<<(j-1))][j-1]])?rmq[i][j-1]:rmq[i+(1<<(j-1))][j-1];
    Size=n; tot=0; fa[dfs(1)]=0;
    while (m--)
    {
        int u=read(),a=read(),b=read(),l=min((a+ans) % A,(b+ans) % A),r=max((a+ans) % A,(b+ans) % A);
        ans=calc(u,r)-calc(u,l-1);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}