青蛙的约会 poj 1061 nefu 84 (拓展欧几里得)-优快云博客

本文介绍了一个有趣的算法问题——两只青蛙的约会问题。通过数学方法和编程实现，文章详细阐述了如何利用拓展欧几里得算法解决该问题，最终确定两青蛙能否及何时相遇。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原解析：https://blog.youkuaiyun.com/sun897949163/article/details/51894372

A.青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析

两只青蛙跳了t步，A的坐标为x+mt， B的坐标为y+nt。他们相遇的充分必要条件是：

移相化简得：
.

在这里我们将上式做如下的转化：

对于上述方程我们如下调用拓展欧几里得算法:

在这里我们求得的t和p是上述方程的一个解，所以我们要进行如下处理：

在这里我们要注意到在exgcd中得到的t，p是exgcd中的一个合理解，而并不是最优解，所以我们要进行最后一步操作。
上代码：

//(n - m)*t + L*p = x-y    n m x y l 已知 求t的最小值
//拓展欧几里得定理求不定方程 p为不定值  求得t的最小解
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

long long exgcd(long long m, long long &x, long long n, long long &y)
{
    long long x1, y1, x0, y0;
    x0 = 1, y0 = 0;
    x1 = 0, y1 = 1;
    long long r = (m % n + n) % n;
    long long q = (m - r) / n;
    while(r)
    {
        x = x0 - q * x1;   y = y0 - q * y1;
        x0 = x1;           y0 = y1;
        x1 = x;            y1 = y;
        m = n; n = r; r = m % n;
        q = (m - r) / n;
    }
    return n;
}

int main(void)
{
    long long x, y, m, n, l;
    long long ar, br;
    while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &l) != EOF)
    {
        long long M = exgcd(n - m, ar, l, br);
        if((x - y) % M || (m == n))
        {
            printf("Impossible\n");
            continue;
        }
        else
        {
            long long s = l / M;
            ar = ar * ((x - y) / M);
            ar = (ar % s + s) % s;
            printf("%lld\n", ar);
        }
    }
    return 0;
}