【二叉树】特殊二叉树及二叉树的性质

特殊的二叉树

满二叉树

定义

所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上。

特点

• 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
• 非叶子结点的度一定是2.
• 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

完全二叉树

定义

对一棵具有 $n$ 个结点的二叉树按层序编号，编号为 $i (1 \le i \le n)$ 的结点与同样深度的满二叉树中编号为 $i$ 的结点在二叉树中位置完全相同。

满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

特点

• 叶子结点只能出现在最下两层。
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
• 倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
• 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
• 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二叉树的性质

二叉树性质1

在二叉树的第 $i$ 层上之多有 $2^{i-1}$ 个结点（$i \ge 1$）。

二叉树性质2

深度为 $k$ 的二叉树至多有 $2^k-1$ 个结点（$k \ge 1$）。

二叉树性质3

对任何一棵二叉树 $T$，如果其叶子结点数为 $n_0$，度为 $2$ 的结点数为 $n_2$，则 $n_0 = n_2 + 1$。

解析：
1、设 $n_1$ 为度为 1 的结点数，则树 $T$ 的结点总数 $n = n_0+n_1+n_2$。
2、度为 $2$ 的结点有两个分支线出去，度为 $1$ 的结点有一个分支线出去，总分支数为 $n_1+2n_2$；
3、而由于根结点只有分支出去，没有分支进入，所以总分支数为 $n-1$。
4、则 $n-1 = n_1+2n_2$。
5、将 4 代入 1 ，推导出 $n_0+n_1+n_2-1=n_1+2n_2$。
6、结论就是 $n_0=n_2+1$。

二叉树性质4

具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度为 $\lfloor log_2n\rfloor+1$ （$\lfloor x \rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）。

二叉树性质5

如果对一棵有 $n$ 个结点的完全二叉树（其深度为 $\lfloor log_2n\rfloor+1$）的结点按层序编号（从第 1 层到第 $\lfloor log_2n\rfloor+1$ 层，每层从左到右），对任一结点 $i（1 \le i\le n）$ 有：

1. 如果 $i=1$，则结点 $i$ 是二叉树的根，无双亲；如果 $i\gt 1$，则其双亲是结点 $\lfloor i/2 \rfloor$。
2. 如果 $2i>n$，则结点 $i$ 无左孩子（结点 $i$ 为叶子结点）；否则其左孩子是结点 $2i$。
3. 如果 $2i+1>n$，则结点 $i$ 无右孩子；否则其右孩子是结点 $2i+1$。