【自动控制原理】第二章建模

是Winky啊

于 2024-12-27 15:51:12 发布

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分类专栏：专业课文章标签：自动控制原理

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1. 自动控制原理的两种数学模型

微分方程模型（ $t$ 域）

线性连续控制系统一般用线性微分方程描述为：

$a_{0}\frac{d^{n}}{dt^{n}}c(t)+a_{1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t)+...a_{n-1}\frac{d}{dt}c(t)+a_{n}c(t)=b_{0}\frac{d^{m}}{dt^{m}}r(t)+b_{1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t)+...b_{m-1}\frac{d}{dt}r(t)+b_{m}r(t)$

$c(t)$ 是系统输出量； $r(t)$ 是系统输入量。描述了 $c(t)$ 和 $r(t)$ 之间的关系。

传递函数模型（ $s$ 域）

传递函数的定义：线性定常系统的传递函数是指，在零初始条件下（ $c(t)$ ， $r(t)$ 及其各阶导在 $0$ 时刻为 $0$ ），系统输出信号拉氏变换（ $L(r(t))=R(t)$ ）与输入信号拉氏变换（ $L(c(t))=C(t)$ ）的比 $G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$ （描述 $c(t)$ 和 $r(t)$ 的传递关系）

传递函数的一般形式： $G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_{n}}$

性质：

(1)只适用于线性定常系统；

(2)完全由系统结构和参数决定，与输入信号无关;

(3)在零初始条件下得到。

闭环系统的几种传递函数

开环传递函数：通常将输入端对应比较器输出 $E(s)$ 到反馈信号 $B(s)$ 之间所有传递函数的乘积，记为 $G_k(s)=G(s)H(s)$ 。

闭环传递函数：系统的输出 $C( s)$ 与输入信号 $R( s)$ 之比得到的传递函数 $G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

误差传递函数：误差信号 $E(s)$ 与输入信号 $R(s)$ 之比得到的传递函数 $\frac{E(s)}{R(s)}$ 。

⭐两种模型如何转换（Laplace变换）⭐

【计算题】系统的微分方程描述如下所示： $\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+3\frac{dc(t)}{dt}+2c(t)=2r(t)$ ，求系统的传递函数。

$L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$ ， $L[\frac{d^2f(t)}{dt^{2}}]=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime}(0)$ 。

$s^{2}C(s)-sC(0)-C^{\prime}(0)+3[sC(s)-C(0)]+2C(s)=2R(s)$

由于是在零初始条件下，所以方程可化为 $s^{2}C(s)+3sC(s)+2C(s)=2R(s)\Rightarrow$ <

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