简单对数不等式的证明

简单对数不等式的证明

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证明:

$$\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n},n\in N^+$$

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令$a_n=(1+\frac{1}{n})^n,b_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$，则

$$\begin{aligned} a_n=&(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^nC_n^k\frac{1}{n^k}\\ =&1+\sum_{k=1}^n\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}\\ =&1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\dots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\dots(1-\frac{n-1}{n})\\ <&1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\dots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\dots(1-\frac{n-1}{n+1})\\ &+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\dots(1-\frac{n}{n+1})\\ =&a_{n+1} \end{aligned}$$
这说明$a_n$严格递增，另外，当$n>1$时，有
$$\begin{aligned} 0<a_n<&1+1+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}\\ &\le2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{(k-1)k}\\ &=2+\sum_{k=2}^n(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=3-\frac{1}{n}<3 \end{aligned}$$
因此$a_n$收敛，极限为$e$

另外，由于

$$(\frac{1+\frac{1}{n-1}}{1+\frac{1}{n}})^n=(1+\frac{1}{n^2-1})^n>1+\frac{n}{n^2-1}>1+\frac{1}{n}$$
得$b_{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^n>(1+\frac{1}{n})^{n+1}=b_n$
即$\{b_n\}$严格单调递减，且
$$\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n(1+\frac{1}{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=e$$
因此有下面的不等式
$$(1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}<e<(1+\frac{1}{n+1})^{n+2}<(1+\frac{1}{n})^{n+1},\forall n\ge1$$

以上公式取自然对数，得到

$$\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n},\forall n\ge1$$