Codevs 2548 自然数积分解

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本文探讨了将自然数N分解为若干个自然数之积的问题，并提供了一种高效的求解方案数的方法。通过对原始递归算法进行优化，避免了重复计算，显著提高了计算效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述 Description
把自然数Ｎ分解为若干个自然数之积，输出方案数。

输入描述 Input Description
自然数N,（1≤n≤2000000000）

输出描述 Output Description
方案数

样例输入 Sample Input
20

样例输出 Sample Output
4

数据范围及提示 Data Size & Hint
20 可分为
20
4 5
2 10
2 2 5

这个题数据很大，所以必须优化，
先看没优化的程序：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,sum;
void dfs(int t,int j)
{
    if(t==1)
      {
        sum++;
        return;
      }
    for(int i=j;i<=t;i++)
      {
        if(t%i==0&&i!=1)
          dfs(t/i,i);
      }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(n,1);
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}

优化思路
一个数n，可以分为 1×n 2 X ….(n减小)， 3× .. i× … 其中 i最大取到 √n，这样数n 被分解为两个数的乘积而左半部分的所有可能通过枚举各种可能值得到，而右半部分继续递归处理即可。这里在分解的时候会遇到重复分析的情况，如16 可分为 2 4 4 ，与 4 4 2 ，因为分解时，是按照乘号左侧的数由小到大来分，因此左侧应该不大于右侧即可。所以函数的参数中传入前一次分解的数字，每次分解前先判断，是否右侧不小于左侧。最后的结果上要加上 1Xn ，因为自身也算是一种结果。

代码

#include <iostream>  
using namespace std;  
int cnt;  
int n;  
void dfs(int last,int x)  
{  
    for (int i=2;i*i<=x;i++)  
    {  
        if (last<=i&&x%i==0)   
        {  
            cnt++;  
            dfs(i,x/i);  
        }
    }
}
int main()   
{  
    cin>>n;  
    dfs(1,n);  
    cout<<cnt+1<<endl;  
    return 0;  
}