《学姐教我写代码（三）》一行代码一个算法（下）

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作者的专栏：
  👉C语言基础专栏《光天化日学C语言》
  👉算法进阶专栏《夜深人静写算法》
  👉C/C++大厂面试专栏《C/C++ 面试 100 例》
  👉奇奇怪怪的专栏《学姐教我写代码》

一、前言

  本文适合对算法处于朦胧期的初学者，文字浅显易懂，并且配有生动有趣的动图，也是作者呕心沥血之作，希望对刚入大学，或者职场上想要涉足算法的青年同僚有所启示。
  采用风趣幽默的故事的形式，对基础C语言进行了一个复习，并且引入了一些简单的一行算法，从最简单的语法开始讲起，套入故事情节，相信你一定可以看懂。
  学习算法，任何时候都不嫌晚，大不了就是大器晚成而已，所以无论你是30岁，40岁，50岁，甚至60岁，只要下了决心，就已经成功了一半！本文的故事发生在 ❤️《学姐教我写代码（二）》一行代码一个算法（上）❤️ 的几天后，剧情扑朔迷离，作者至今回忆起来还历历在目。

• 本章能够学到的东西大概如下：
  

二、梦醒时分

• 自从上次梦到学姐教了我四个算法以后。过了两天，三天，四天 一直没有等到学姐再次进入我的梦中……
  
• 当我快要绝望之时，天上突然下起了倾盆大雨。
  
• 然后，学姐竟然从天上下了下来！
  
• 我嘞个去啊！ 我扶起学姐，发现她是紫色的！说明我还在梦里咧！因为根据 《学姐教我写代码（一）》十道题搞定C语言 所说，现实中的学姐是橙色的呀！
• 原来我根本就没有醒过，我问学姐剩下那四个算法到底是什么?
• 学姐愣了一下！

• 我嘞个去啊！学姐，该不会是脑子瓦特了吧！
• 看来得帮助学姐恢复记忆，不然那剩下的四个算法我就永远学不到了。
• 这时候身边突然出现了一颗胶囊，上面写着六个大字：
  
• 我嘞个去啊！果然是做梦啊，要什么来什么！
• 但是这颗胶囊怎么充斥着诡异的味道！
  
• 于是我把药丸给学姐服下。
• 只见一道绿光闪过！立刻风云大作！

阴雨绵绵 浊浪排空 日星隐耀 山岳潜形

• 再回头看时，学姐竟然：
• 成了绿色的！！！

• 然后学姐迅速写下了四行代码，就匆匆离我而去了！
• 这四行代码分别是：

void A(int *a, int *b) { *a = *a ^ *b, *b = *a ^ *b, *a = *a ^ *b; }

int B(struct Point a, struct Point b) { return a.x * b.y - a.y * b.x; }

int C(int n, int m) { return n == 0 ? (m == 0 ? 1 : 0) : (C(n-1, m) + C(n-1, m-1) ); }

int D(int a, int b) { return b == 0 ? 1 : ( ((b&1) ? a : 1)  * D(a*a, b/2)  ); }

• 这时，我突然感觉头部被硬物敲击，反应过来时，发现眼前赫然站立着一个橙色的学姐。
• 太好了，我终于回到现实世界了。
  

• 我把梦里发生的事情一五一十的告诉了学姐……

• 磨蹭了半个小时以后……
• 等她回来时，我发现我的手臂上竟然有那 四！行！代！码！
• 学姐你看！！！
  
• 学姐会心一笑，嗯！然后，她告诉我这四行代码的含义。

三、算法解析

算法一

交换两个变量的值

void A(int *a, int *b) {
    *a = *a ^ *b, *b = *a ^ *b, *a = *a ^ *b;
}

1）逗号表达式

• 对于C语言中的逗号表达式，你可以理解成就是为了分隔两个语句，从左往右计算即可，如下代码：

#include <stdio.h>
int main() {
	int a, b, c, d;
	d = ( a = 3, b = a + 3, c = b + 5, 56 );
	printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
	return 0;
}

• 对于这段代码输出的答案为：

3 6 11 56

• 可以看出，这个逗号表达式等价于：

    a = 3;
    b = a + 3;
    c = b + 5;
    56;

• 并且整个逗号表达式的值，就是最右边的那个表达式的值，即56。

2）变量取地址和指针

• 可以用&符号对一个变量取地址，取了地址后他就变成了一个指针变量，如下：

#include <stdio.h>
int main() {
	int a = 5;
	int *pa = &a; 
	return 0;
}

• 这里a是一个普通变量，pa是一个指针变量。

3）指针取值

• 指针说白了，就是一个变量的地址；在一个指针前面加上*符号的含义，就是取这个地址里面的值。看个例子加深理解：

#include <stdio.h>
int main() {
	int a = 5;
	int *pa = &a; 
	printf("%d\n", *pa); 
	return 0;
}

• 这段代码输出的值为 5。也就是a和*pa是等价的；&a和pa是等价的；
• 我们可以认为*和&是两个互逆的操作。

4）异或的性质

• 二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
• 1）0和0异或为0；
• 2）1和1异或为0；
• 3）0和1异或为1；
• 4）1和0异或为1；
• 也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
• 这样就有了两个比较清晰的性质：
• 1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
• 2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
• 3）异或运算满足结合律和交换律。

5）算法解析

• 首先，我们可以把这段代码拆分开来，因为逗号表达式是可以拆分的，于是得到如下代码：

void A(int *a, int *b) {
    *a = *a ^ *b;
    *b = *a ^ *b;
    *a = *a ^ *b;
}

• 然后，由于这里指针取值了，所以我们可以认为就是普通变量，也就是把*a当成是A即可，把*b当成是B即可。函数内部，可以理解成是：

    A = A ^ B;
    B = A ^ B;
    A = A ^ B;

• 我们直接来看前两句话，相当于B等于A^B^B，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的B的值已经变成原先A的值了。
• 而再来看最后一句话，相当于A等于A^B^A，还是根据异或的几个性质，这时候，A的值已经变成了原先B的值。

算法二

叉乘

• 叉乘是用来判定一个顶点是在一条射线的左侧还是右侧。

1）点

• 对于一个二维空间中的点，只需要两个数字就能表示，即(x, y)分别代表的是横坐标和纵坐标，如图所示：

• 可以用如下数据结构来代表一个点：

struct Point {
    int x, y;
};

2）向量

• 向量则代表了两个点之间的差值，即横坐标相减，纵坐标相减。并且向量是有方向的。如图所示红色的箭头代表的就是一个向量。
  
• 我们可以表示成点 (4,7)和原点(0,0)的差。

3）叉乘的运算

• 叉乘（又叫叉积、向量积，外积），表示的是两个向量经过运算后，和这两个向量垂直的向量（和点乘不同，它的结果还是一个向量），如下：
  $$\vec{a}=(x_a,y_a,z_a)$$$$\vec{b}=(x_b,y_b,z_b)$$$$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{c}=(y_a{z}_b-z_a{y}_b)\vec{i}+(z_a{x}_b-x_a{z}_b)\vec{j}+(x_a{y}_b-y_a{x}_b)\vec{k}$$
• 其中 $\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$
• 当两个向量都在 $z=0$ 的平面上时，$z_a=z_b=0$，退化为二维的情况，则有 $$\vec{a}\times \vec{b}=(x_a{y}_b-y_a{x}_b)\vec{k}$$
• 代码实现如下（因为 $\vec{k}$ 方向已经确定，为垂直原向量，所以返回值可以定义为一个数值类型）：

Type Point2D::X(const Point2D& other) const {
    return x*other.y - y*other.x;
}

• 在二维计算几何中，叉乘可以用来判断两个点是否在一个向量的同一侧，如图二-5-1所示：
  

图二-5-1

• 对于向量 $\vec{s}=OS$，假设有任意一个点 $T(x,y)$，对原点到这个点做一个向量 $\vec{t}$。那么有叉乘：
  $$\vec{s}\times \vec{t}=(10y-x10)\vec{k}$$
• 1）$\vec{s}\times \vec{t}>0$，则 $(x,y)$ 在 $\vec{s}$ 左侧（参考点A）；
• 2）$\vec{s}\times \vec{t}=0$，则 $(x,y)$ 和 $\vec{s}$ 共线（参考点B）；
• 3）$\vec{s}\times \vec{t}<0$，则 $(x,y)$ 在 $\vec{s}$ 右侧（参考点C）；
• 所以，只要两个点分别和对应向量做叉乘，再将结果相乘，如果值大于0，则代表同侧；小于零代表异侧；
• 叉乘还代表了两个向量组成的平行四边形的面积，有公式：
  $$\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$$
• 同样也代表了两个向量组成的三角形的面积的两倍。

4）算法解析

int B(struct Point a, struct Point b) {
     return a.x * b.y - a.y * b.x; 
}

• 所以这个代码就是叉乘的运算。

算法三

杨辉三角

int C(int n, int m) {
    return n == 0 ? (m == 0 ? 1 : 0) : (C(n-1, m) + C(n-1, m-1) );
}

• 杨辉三角就是组合数啦。

1）组合含义

• 组合数表示为 $C_n^m$，它的含义是：从 $n$ 个不一样的物品中，选择 $m$ 个物品的方案数。

2）组合递推式

• 递推公式 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$，可理解为：含特定元素的组合有 $C_{n-1}^{m-1}$，不含特定元素的排列为$C_{n-1}^m$。
• 举例：
• 从 1，2，3，4，5 $(n=5)$ 中取出 2 $(m=2)$ 个元素的组合 $C_n^m$：
• $$12131415232425343545$$
• 这些组合中要么含有元素 “1”，要么不含。
• 其中含有“1”的是：
• $$12131415$$
• 把里面的 “1” 都去掉，得到：
• $$2345$$
• 等价于从 2，3，4，5 $(n-1)$ 中取出1 $(m-1)$ 个元素的组合。
• 其中不含“1”的是：
• $$232425343545$$
• 等价于从 2，3，4，5 $(n-1)$ 中取出 2 $(m)$ 个元素的组合。

而总方案数等于上面两种情况方案数之和，即 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$。

3）算法解析

• 然后我们把这个三目运算符，改成 if 语句，得到：

int C(int n, int m) {
    if(n == 0) {
        if(m == 0) {
            return 1;
        }else {
            return 0;
        }
    }else {
        return C(n-1, m) + C(n-1, m-1);
    }
}

• 也就是当 n==0的情况进行特殊处理，否则就是上面证明的组合数的递推公式。

算法四

二分快速幂

int D(int a, int b) { 
    return b == 0 ? 1 : ( ((b&1) ? a : 1)  * D(a*a, b/2)  ); 
}

1）幂指数的递推

• 对于幂指数 $a^b$，最简单的递推方式就是 $a^b=a\times a^{b-1}$。
• 令 $f(a,b)=a^b$, 容易得到：
• $$f(a,b)=af(a,b-1)$$

2）幂指数的二分方程

• $$f(a,b)=\{\begin{array}{ll}1& b为0\\ af(a,\frac{b-1}{2}{)}^2& b为奇数\\ f(a,\frac{b}{2}{)}^2& b为正偶数\end{array}$$

3）算法解析

• 这样，我们继续把刚才的代码的三目运算符拆开，利用上面的幂指数的二分方程，得到：

int D(int a, int b) { 
    if(b == 0) {
        return 1;
    }
    if(b & 1) {
        return a * D(a*a, b/2);
    }else {
        return D(a*a, b/2);
    }
}

四、没想到可以学到这么多知识点

• 那天以后，我就对学姐刮目相看，但是一直没有理解，学姐这个神奇的存在，为什么会时常进入我的梦中，难道这就是传说中的 “日有所思，夜有所梦” ？
• 现如今，据说学姐已经嫁人，不知道她过得如何………………
  

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