动态规划解决矩阵链乘最优顺序问题

问题描述与算法描述见《算法导论》，算法实现代码如下：

// 矩阵链乘最优解
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <memory.h>

// 计算辅助表
// 输入: 矩阵维数数组p[n+1]
// 输出: 辅助表m[i, j], s[i, j]
void matrix_chain_order(int p[], int length, int **m, int **s)
...{
    int N = length;
    for (int i=0; i<N; ++i)
    ...{
        m[i][i] = 0;                                    // 长度为1的矩阵链，标量乘法运算次数为0
    }

    for (int L=2; L<=N; ++L)                // L是矩阵链长度
    ...{
        for (int i=0; i<N-L+1; ++i)            // 矩阵链起始下标
        ...{
            int j=i+L-1;                            // 矩阵链结尾下标
            m[i][j] = INT_MAX;                // 初始设定为无穷大(用INT_MAX表示)
            
            for (int k=i; k<j; ++k)            // 从k处将矩阵链一分为二
            ...{
                int q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1];
                if (q < m[i][j])
                ...{
                    m[i][j] = q;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

// 构造最优解
void print_optimal_parens(int **s, int i, int j)
...{
    if (i==j)
    ...{
        putchar('A');
        putchar('1' + i);
    }
    else
    ...{
        putchar('(');
        print_optimal_parens(s, i, s[i][j]);
        print_optimal_parens(s, s[i][j] + 1, j);
        putchar(')');
    }
}

// 打印矩阵
void print_matrix(int **m, int n)
...{
    for (int i=0; i<n; ++i)
    ...{
        for (int j=0; j<n; ++j)
        ...{
            printf("%d ", m[i][j]);
        }
        printf(" ");
    }
}

int main()
...{
    int p[] = ...{30, 35, 15, 5, 10, 20, 25};
    //int p[] = {5, 10, 3, 12, 5, 50, 6};
    int n = sizeof(p)/sizeof(int) - 1;

    int **m = new int*[n];
    for (int i=0; i<n; ++i)
    ...{
        m[i] = new int[n];
        memset(m[i], 0, sizeof(int)*n);
    }

    int **s = new int*[n];
    for (int i=0; i<n; ++i)
    ...{
        s[i] = new int[n];
        memset(s[i], 0, sizeof(int)*n);
    }

    matrix_chain_order(p, n, m, s);

    printf("m[i, j]:  ");
    print_matrix(m, n);
    printf("s[i, j]:  ");
    print_matrix(s, n);

    print_optimal_parens(s, 0, 5);
    printf(" ");

    for (int i=0; i<n; ++i)
    ...{
        delete [] m[i];
    }
    delete [] m;

    for (int i=0; i<n; ++i)
    ...{
        delete [] s[i];
    }
    delete [] s;
    
    return 0;
}
/**//*
测试
输入：{30, 35, 15, 5, 10, 20, 25}
输出：
m[i, j]:
0            15750        7875        9375        11875        15125
0            0                2625        4375        7125        10500
0            0                0                750            2500        5375
0            0                0                0                1000        3500
0            0                0                0                0                5000
0            0                0                0                0                0
s[i, j]:
0            0            0            2            2            2
0            0            1            2            2            2
0            0            0            2            2            2
0            0            0            0            3            4
0            0            0            0            0            4
0            0            0            0            0            0
((A1(A2A3))((A4A5)A6))
*/