[SRM695-900]BearEmptyCoin

题目大意

有一个两面为空的硬币，正面和反面有区别。
你需要甩$k$次，每次其会有一面朝上，如果该面为空，你填一个整数上去，若不为空，获得该分数。
你希望最大化分数和为$s$的概率。

做法

如果$s\ mod\ k=0$显然我们不管哪面都会填$s/k$，输出$2^k$。
你能决定的是第一次摇到第2个面时，根据这是第几次决定另一面填啥。设这个为$y$，第一次填上去的就是$x$，那么$x$是定值，你要提前准备。
下面我们令$x$表示正面，$y$表示反面（实际上由于正反面有区别，答案要乘2）。
设有$A$次出现正面。
那么要满足$Ax+(k-A)y=S$。
显然要有$(A,k-A)|S$即$(A,k)|S$。
我们可以证明，存在一个$x$，对于满足$(A,k)|S$的$A$，都存在一个对应$y$满足$Ax+(k-A)y=S$。
$Ax+(k-A)y=S$。
$(k-A)(y-x)=S-kx$。
由于$A$与$k-A$对称可以得到$A|S-kx$。
所以有$lcm(A)|S-kx$。
令$lcm(A)*p+kx=S$。
我们知道一个简单的结论：
如果$(a,c)|d,(b,c)|d，那么有([a,b],c)|d$。这个结论的证明可以考虑从gcd以及lcm的本质出发，即对质因子次数取min与取max。
那么因为每个$A$都满足$(A,k)|S$于是有$(lcm(A),k)|S$。
因此我们证明了这个$x$一定存在。
接下来就好做了，答案是
$\sum_{j=1}^{k-1}max_{i=0}^{k-j-1}[(i+j,k)|S]C_{k-j-1}^i$
事实上这个开到10^5当然也是能做的。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=60+10;
ll c[maxn][maxn];
int i,j,k,l,n,m,s;
ll ans,t;
class BearEmptyCoin{
    int gcd(int a,int b){
        return b?gcd(b,a%b):a;
    }
    public:
    ll winProbability(int K,int S){
        k=K;
        s=S;
        if (s%k==0){
            ans=1;
            fo(i,1,k) ans*=2;
            return ans;
        }
        c[0][0]=1;
        fo(i,1,k){
            c[i][0]=1;
            fo(j,1,i) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
        }
        ans=0;
        fo(j,1,k-1){
            t=0;
            fo(i,0,k-j-1)
                if (s%gcd(i+j,k)==0) t=max(t,c[k-j-1][i]);
            ans+=t;
        }
        return ans*2;
    }
} zlt;
int main(){
    printf("%lld\n",zlt.winProbability(2,-49));
}