原谅

本文探讨了一个关于在平面上随机分布的点中寻求最大线段数期望的问题,并给出了详细的数学推导及C++实现代码。

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题目描述

终其一生,我们在寻找一个原谅。
犯下了太多错,要原谅的那个人,永远都是自己。
Samjia在深夜中望见了没有边界的人生,他没有想到过自己犯下了这么多的错误,他想在他的一生中寻求一个原谅。
他的人生是一个没有边界的平面,平面上有n个错误,每个错误是一个点,每个点i有一定的坐标(x[i],y[i]),有一个参数p 表示每个点有p的概率出现在平面上,注意两个不同的点的出现互相没有影响,Samjia可以在两个点之间连一条线段,两条线段不能在除了端点以外的地方相交,现在Samjia想知道他最多可以连的线段数的期望。
温馨提示:请看最后面的提示:)
本题的答案在mod 100000007意义下计算

结论

容易发现最优一定是三角剖分。
若存在非三角形区域一定还能够继续连边。
设凸包上有k个点,有F个三角形,总共V个点,E条边。
除凸包上的边,每条边都出现在两个三角形中,凸包上点数等于边数。
则有3F+k=2E
根据欧拉定理V+F-E=1
结合两条式子可以得到
3V-k-3=E
现在求E的期望,我们其实要求k的期望,因为V的期望显然是n*p。
凸包上的点的期望等于凸包上的边的期望。
(我们不需要考虑k=1的情况,把它当作0,那么会有3*1-0-3=0,对E无贡献,而这种情况也恰好凸包上是没有边的)
而k=2呢?看起来好像只有1条边,但有两个点!其实如果我们把一条无向边拆成两条有向边,那么k=2没有任何问题。
接下来根据期望的线性性,我们枚举一条有向边,计算其在凸包上的概率。那么先枚举始点,将该点连出的有向边都进行向量的坐标表示,接下来极角排序,按顺序枚举一条有向边。
那么一条有向边要在凸包上,它在另一条有向边的左手方向,那有向边可出现可不出现,但如果它在另一条有向边的右手方向,那必定不出现!
所以可以维护一个指针来快速获得哪个极角区域的点不能出现,就可以计算了。
注意全部点都不出现时,我们的公式失效了,这种情况最后要加回来。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int maxn=1000+10,mo=100000007;
db a[maxn][2],c[maxn][2],x,y;
int b[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,p,q,ans,top;
bool cmp(int x,int y){
    return atan2(c[x][1],c[x][0])<atan2(c[y][1],c[y][0]);
}
db cross(db x1,db y1,db x2,db y2){
    return x1*y2-x2*y1;
}
int qsm(int x,int y){
    if (!y) return 1;
    int t=qsm(x,y/2);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
int main(){
    freopen("forgive.in","r",stdin);freopen("forgive.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&p);
    q=((1-p)%mo+mo)%mo;
    fo(i,1,n) scanf("%lf%lf",&a[i][0],&a[i][1]);
    fo(i,1,n){
        fo(j,1,n) c[j][0]=a[j][0]-a[i][0],c[j][1]=a[j][1]-a[i][1];
        top=0;
        fo(j,1,n)
            if (j!=i) b[++top]=j;
        sort(b+1,b+top+1,cmp);
        k=1;l=0;
        fo(j,1,top){
            x=c[b[j]][0];y=c[b[j]][1];
            while (cross(x,y,c[b[k%top+1]][0],c[b[k%top+1]][1])>0&&k%top+1!=j){
                k=k%top+1;
                l++;
            }
            t=n-2-l;
            ans=(ans+(ll)p*p%mo*qsm(q,t)%mo)%mo;
            if (l) l--;else k++;
        }
    }
    ans=(((ll)3*n%mo*p%mo-ans-3)%mo+mo)%mo;
    ans=(ans+(ll)3*qsm(q,n)%mo)%mo;
    printf("%d\n",ans);
}
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