最长不下降子序列

题目大意

a1=t0
an=(A*an-1^2+B*an+C)%D(n>1)
求该序列最长不下降子序列长度

暴力

n不是很大显然可以暴力。
n很大呢?
那就不断减循环节长度直至减到一个阈值内,再暴力。
正确性显然,只要阈值不要设太小。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=150+10,lim=1000000;
int a[1000000+500],b[maxn],d[1000000+500];
int wz[maxn];
int i,j,k,l,t,m,top,A,B,C,ans;
ll n,ti;
int main(){
    freopen("lis.in","r",stdin);freopen("lis.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%d%d%d%d%d",&a[1],&A,&B,&C,&m);
    //a[1]%=m;
    top=1;
    t=a[1]%m;
    while (1){
        t=(A*t*t+B*t+C)%m;
        if (wz[t]){
            l=wz[t];
            break;
        }
        a[++top]=t;
        wz[t]=top;
    }
    k=top-l+1;
    if (n>lim){
        ti=(n-lim)/k+1;
        n-=(ll)k*ti;
    }
    if (n<=lim){
        top=1;
    t=a[1]%m;
    fo(i,2,n){
        t=(A*t*t+B*t+C)%m;
        a[++top]=t;
        //wz[t]=top;
    }
    /*k=top-l+1;
    fo(i,l,top)
        fo(j,1,m)
            a[i+k*j]=a[i];
    top=top+m*k;
    top=int(min((ll)top,n));*/
    fo(i,1,top) d[i]=200;
    fo(i,1,top){
        j=upper_bound(d,d+top+1,a[i])-d-1;
        j++;
        if (j>ans) ans=j;
        d[j]=min(d[j],a[i]);
    }
    }
    printf("%lld\n",(ll)ans+ti);
}
### 使用单调队列实现最长下降子序列算法 单调队列是一种高效的优化方法,可以将原本复杂度为 \( O(n^2) \) 的动态规划算法优化到 \( O(n \log n) \)[^1]。以下是使用单调队列求解最长下降子序列LIS)的详细算法和实现。 #### 算法思想 在求解最长下降子序列时,动态规划的核心是维护一个数 `dp`,其中 `dp[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长下降子序列的长度。然而,这种方法的时间复杂度较高,因此需要借助单调队列进行优化[^4]。 单调队列优化的核心思想是:对于一个单调递增的序列,只需要记录每个长度对应的最小值即可[^2]。具体来说: - 使用一个数 `f` 来存储当前可能成为 LIS 的候选序列。 - 遍历输入序列中的每个元素,通过二分查找确定该元素在 `f` 中的位置,并更新 `f` 的值。 #### 实现步骤 以下是基于单调队列的最长下降子序列算法的 Python 实现: ```python def lis_with_monotonic_queue(nums): if not nums: return 0 # 定义一个列表 f,用于存储当前的 LIS 候选序列 f = [] for num in nums: # 使用二分查找找到 num 在 f 中的插入位置 left, right = 0, len(f) while left < right: mid = (left + right) // 2 if f[mid] <= num: # 找到第一个大于 num 的位置 left = mid + 1 else: right = mid # 如果 left 等于 len(f),说明 num 比 f 中的所有数都大,直接追加 if left == len(f): f.append(num) else: # 否则替换掉第一个大于等于 num 的数 f[left] = num # 最终 f 的长度即为最长下降子序列的长度 return len(f) # 示例用法 nums = [11, 12, 13, 9, 8, 17, 19] print(lis_with_monotonic_queue(nums)) # 输出 5 ``` #### 代码解析 1. **初始化**:创建一个空列表 `f`,用于存储当前的 LIS 候选序列。 2. **遍历输入序列**:对每个元素 `num`,通过二分查找找到其在 `f` 中的插入位置。 3. **更新候选序列**: - 如果 `num` 大于 `f` 中的所有元素,则将其追加到 `f` 的末尾。 - 否则,替换掉 `f` 中第一个大于等于 `num` 的元素。 4. **返回结果**:最终 `f` 的长度即为最长下降子序列的长度。 #### 时间复杂度分析 - **二分查找**:每次查找的时间复杂度为 \( O(\log n) \)。 - **总复杂度**:由于需要对每个元素进行一次二分查找,因此总时间复杂度为 \( O(n \log n) \)[^1]。 #### 注意事项 1. 单调队列优化适用于严格递增或递减的子序列问题。 2. 如果需要输出具体的最长下降子序列,可以通过额外的回溯操作实现[^3]。
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