求和

最新推荐文章于 2025-06-18 15:45:53 发布

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莫比乌斯反演

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本文探讨了一个特定的数学问题，利用莫比乌斯函数和数论原理进行求解。通过枚举和变换主体的方法，最终将复杂的问题简化为可计算的形式，并给出了具体的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

这里写图片描述

推一下

\sum i = 1 n \sum j = 1 m μ (i) * μ (j) * \sum d | i j d

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\mu(i)*\mu(j)*\sum_{d|ij}d$
对于每一个d|ij，一定可以把d拆成d=ab满足a|i且b|j，我们可以考虑枚举a和b。因为一个d有多种拆法，为了避免重复，需保证(a,j/b)=1，因为如果(a,j/b)=k>1的话，a/k和bk也是一种合法答案。
还记得莫比乌斯函数的一个性质么？

\sum d | n μ (d)

$\sum_{d|n}\mu(d)$
当n等于1时这个式子值为1否则值为0。

\sum i = 1 n \sum j = 1 m μ (i) * μ (j) * \sum a | i, b | j a * j b * \sum d | a, d | b μ (d)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\mu(i)*\mu(j)*\sum_{a|i,b|j}a*\frac{j}{b}*\sum_{d|a,d|b}\mu(d)$
我们设

f (a) = \sum a | i a * μ (i)

$f(a)=\sum_{a|i}a*\mu(i)$

g (b) = \sum b | j j b * μ (j)

$g(b)=\sum_{b|j}\frac{j}{b}*\mu(j)$
f与g我们可以预处理，接着把答案式子交换主体，再代入f与g于是式子变成

\sum d = 1 n μ (d) * (\sum d | a f (a)) * (\sum d | b g (b))

$\sum_{d=1}^n\mu(d)*(\sum_{d|a}f(a))*(\sum_{d|b}g(b))$
那就可以算啦

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=500000+10,mo=998244353;
int f[maxn],g[maxn],miu[maxn],pri[maxn];
bool bz[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,top,ans;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n>m) swap(n,m);
    miu[1]=1;
    fo(i,2,m){
        if (!bz[i]){
            miu[i]=-1;
            pri[++top]=i;
        }
        fo(j,1,top){
            if (pri[j]>m/i) break;
            bz[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0){
                miu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            miu[i*pri[j]]=-miu[i];
        }
    }
    fo(i,1,n)
        fo(j,1,n/i)
            (f[i]+=i*miu[i*j])%=mo;
    fo(i,1,m)
        fo(j,1,m/i)
            (g[i]+=j*miu[i*j])%=mo;
    fo(i,1,n){
        k=0;
        fo(j,1,n/i) (k+=f[i*j])%=mo;
        l=0;
        fo(j,1,m/i) (l+=g[i*j])%=mo;
        (ans+=(ll)miu[i]*k*l%mo)%=mo;
    }
    (ans+=mo)%=mo;
    printf("%d\n",ans);
}