错排公式

前言

错排公式，即把n本可区分书打乱使得每本书不在原本位置的方案数。

容斥原理得到的递推式

我在某题题解里讲过，现在复制过来。
设dp[i]表示i个元素的错排方案数。
什么意思呢？就是关于i的排列其中不存在任意的a[j]=j。
我们可以使用容斥原理：
例如dp[n]，其实就是要满足n个条件——第i个条件为a[i]!=i
那么合法方案数=至少不满足0个条件-至少不满足1个条件+至少不满足2个条件-至少不满足3个条件+……
也就是
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*C_n^i*(n-i)!$
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*\frac{n!}{i!*(n-i)!}*(n-i)!$
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*\frac{n!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*\frac{n!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+n*\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*\frac{(n-1)!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+n*dp[n-1]$

另一种递推式

如果i到了j，我们就让i向j连一条有向边。
合法的方案便是形成许多环且没有自环。
考虑dp[n]，有两种可能。
在n-1的图上，n随便连一条有向边到一个结点，然后连向这个结点的结点改为连向n。相当于把n并进了这个环。n可以连向的结点有n-1种可能。
在n-2的图上，增加一个大小为2的环，除了n以外另一个点的编号未知，有n-1种可能。
于是错排公式有了另一种递推式
$dp[n]=(n-1)*(dp[n-1]+dp[n-2])$