囚人的旋律

题目大意及模型转换

给定一个N的排列，第i个数为a[i]。选择一些数组成集合，需要满足以下条件。
1、对于集合内$i \lt j$，$a[i] \lt a[j]$
2、对于集合内$i \lt j$，集合外$i \lt k \lt j$，满足a[i]>a[k]或a[k]>a[j]
求满足条件的集合个数，两个集合包含相同元素视为相同。N<=1000。答案模P=1000000007。

简单DP

设f[i]表示前i个选一些数进入集合且第i个必须进入集合。转移显然。
确定一个i，并枚举一个j，判定i,j是否能同时选入集合。

优化

我们需要优化第二个条件合法判定的时间。确定一个i，然后每次将j加一。a[i]固定了，每次j右移一位会加入一个新的j-1。如果a[i]>a[k]，那么一定合法。我们只需要讨论不满足a[i]>a[k]的情况，如何判定a[k]>a[j]。我们发现如果要满足a[k]>a[j]，所有a[k]最小值一定大于a[j]，而如果最小值都大于a[j]，即可以判合法。维护最小值即可。

注意

为了统计方便，a[0]=-inf,a[n+1]=inf。那么f[n+1]即为答案。