君と彼女の恋

题目大意及模型转换：

找出有多少个集合满足以下要求：
1、所有数模M两两不同
2、所有数之和为N
N<=10^18,M<=100。结果很大，要求模一个大质数。
集合包含同样的数，而顺序不同视为不同集合。

小思路：

为了满足约束1，可以先选出一些余数（0~M-1），然后不断给其中的余数加M（这样显然这个数模M不会改变），直至达到N。也就是说，题目转换为选一些余数，使余数之和与N对模M同余，并统计将这些余数，每次不断加M，直至达到N的方案数。

DP：

显然可以想到，余数之和最大为M^2（实际为M*(M-1)/2，这里为了叙述方便）。那么我们发现，还要记录个数（因为如果已知余数和为i，还要知道用多少个构成了i，才能统计方案数）。那么个数最大为M。可以设f[i,j]表示选了j个余数使其和为i的方案数。那么显然可以写出转移式f[i,j]=∑f[i-k,j-1]。枚举k需要O(M)，枚举状态需要O(M^3)。可以得知此DP是O(M^4)的。

统计答案：

现在，我们假设Q=N mod M，P=N div M。我们可以枚举一个j，要求余数和为Q+j*M，那么可以得知这样我们还需要反复做以下操作P-j次：不断给其中一个余数加M。注意了，假设用i个余数组成，那么方案并不是i^(P-j)的，因为会有重复。这时我们考虑这样一个组合数问题。

隔板放球：

考虑这样一个问题，在N个盒子里放入M个球的方案数。我们可以把N个盒子看作N+1个隔板，那么除去两边没有用的隔板一共有N-1个隔板，放入M个球后，如果把球与隔板统称为“东西”，那么一共有N+M-1个“东西”，其中有N-1个“东西”是隔板。所以，我们可以得出方案数为$C_{N+M-1}^{N-1}$。

求解组合数：

注意到N+M-1会变得很大，我们需要快速求解组合数。以下有两种方法

方法一

$C_{Y}^{X}=\frac{Y!}{X!*(Y-X)!}=\frac{(Y-1)!}{(X-1)!*(Y-X)!}*Y/X=C_{Y-1}^{X-1}*Y/X$
因此我们可以不断把弄下去直至变为$C_{Y-X}^{0}$,然后再推回来，复杂度为O(X)，可以得出X<=M。

方法二

$C_{Y}^{X}=\frac{Y!}{X!*(Y-X)!}=\frac{\prod_{i=Y-X+1}^{Y} i}{X!}$
那么就可以用O(X)的方法算出。

注意：

由于是排列，所以还要乘上i的阶乘（i表示为选择了i个余数）。计算组合数用到了除法，我们应该改为乘以它的逆元。因为模的是大质数，所以满足费马小定理前提，那么a*b同余a/b’。其中b*b’=1(mod p)，且b’=b^(p-2) mod p。
由于每个余数只能选一次，是01背包问题，所以枚举时次数与和都得倒序，而且转移用到的k放在第一层。