数据结构与算法之复杂度分析

最近在看王争的数据结构与算法之美，里面有讲到数据结构中的复杂度分析，于是做个总结。

一、复杂度是什么？

复杂度分为时间、空间复杂度，是考量代码执行效率的一个重要指标

二、为什么需要复杂度分析？

在书中，老师给了两个原因，如下：做分别解释：

1. 测试结果非常依赖测试环境
   比如同样的代码在不同的处理机上执行的速度不一样
2. 测试结果受数据规模的影响很大
   对于测试较小的规模，执行时间的差别很大。

三、如何表示

大O复杂度表示法
所有代码执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比
即：T(n) = O f(n)
举例：

int cal (int n){
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for(; i<=n; i++){
   	sum = sum + i;
   }
   return sum;
}

这个代码第2、3行分别需要1个unit_time的执行时间，4、5行都运行了n遍，所以需要2n*unit_time的执行时间，所以这段代码的执行时间就是(2n+2)unit_time。

可以看出，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比
T(n) = O( 2n+2 )

大O复杂度实际上并不具体代表代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以也叫渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

当n很大时，公式中的低阶、常量、系数不会左右增长趋势，所以都可以忽略。只需用记录一个最大量级就可以了，所以上段代码就可以表示为 T(n) = O(n)。

四、时间复杂度分析

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

几种常见的时间复杂度实例分析

1. O(1)

O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。
只要代码的执行时间不随n的增大而增大，这样的代码时间复杂的都为O(1)。
一般情况下，只要不出现循环、递归，成千上万的代码，其时间复杂度也都是O(1)

2. O(logn)、O(nlogn)

i=1;
while(i<=n){
	i=i*2;
}

时间复杂度为O(log2n)

i=1;
while(i<=n){
 i=i*3;
}

同理，时间复杂为O(log3n)
实际上不管是以2还是3为底，我们都把对数阶的时间复杂度都记为O(logn)

同理，对于O(nlogn)，我们循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)了

3. O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, intn) {
	int sum_ 1 = 0;
	int i= 1;
	for(;i< m; ++i){
		sum_ _1=sum_ 1 + i;
	}
	int sum_ 2=0;
	int j= 1;
	for(;j<n;++j) {
		sum_ 2=sum_ 2 + j;
	}
	return sum_ 1 + sum_ _2;
}

这段代码的时间复杂度就是 O(m+n)
换成乘法，时间复杂度就是O(m*n)

五、空间复杂度

空间复杂度全称渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
我们常见的空间复杂度就是0(1)、0(n)、0(n*n)

void print(int n) {
	int i= 0;
	int[] a = new int[n];
	for (i;i<n; ++i) {
		a[i]=i*i;
	}
	for(i=n-1;i>=0;--i){
		print out a[i]
	}
}

在这段代码中，第3行申请了一个大小为n的int类型数组，除此之外，剩下的代码没有占用更多的空间，所以整段代码的时间复杂度就是0(n)。

六、浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

1. 最好、最坏时间复杂度

假如在一个无序数组中，需要查找一个数字，如果这个数字在最后面，那么这段代码的时间复杂度就是0(n)，
同理，这个数字要是在首位，则就是0(1)
因此，最好时间复杂度就是在最理想的情况下，查找的变量x是数组的第一个元素
同理，最坏时间复杂度就是在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度

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2.平均时间复杂度

对于平均时间复杂度
比如，元素x在数组有n+1种情况，就是把每种情况下需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以n+1，就可以得到需要遍历的元素的个数的平均值

3. 均摊时间复杂度

就是将耗时多的操作均摊到耗时少的操作上。
比如在数组中插入数据，每一次O(n)的插入操作，都会跟着n-1次0(1)的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的n-1次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是0(1)。这就是均摊分析的大致思路。

这些大致是我的个人总结，如果还是看不太懂，最好是读原著加以理解