树状数组总结

        树状数组的基本知识已经被各种大牛和菜鸟讲到烂了，我就不多说了，下面给出基本操作的代码。

假定原数组为a[1..n]，树状数组b[1..n]，考虑灵活性的需要，代码使用int *a传数组。

 

#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))

int sum(int *a,int x){

int s=0;

for(;x;x-=lowbit(x))s+=a[x];

return s;

}

void update(int *a,int x,int w){

for(;x<=n;x+=lowbit(x))a[x]+=w;

}

 

功能1：sum(x)返回原数组[1,x]的区间和，update(x,w)将原数组下标为x的数加上w。

这两个函数使用O(logn)的时间和O(n)的空间完成单点加减，区间求和的功能。

 

 

:功能2接下来做一些升级，让树状数组完成区间加减，单点查询的功能。

考虑将原数组差分，令d[i]=a[i]-a[i-1]，特别地，d[1]=a[1]。

那么区间[l,r]整体加上k的操作就可以简单地使用d[l]+=k;d[r+1]-=k来完成了。

此时a[i]=d[1]+..+d[i]，所以单点查询a[i]实际上就是在求d数组的[1..i]区间和，很容易完成了。

 

 

:功能3：下面再升级一次，完成区间加减，区间求和的功能。

仍然沿用d数组，考虑a数组[1,x]区间和的计算。d[1]被累加了x次，d[2]被累加了x-1次，...，d[x]被累加了1次。

因此得到sigma(a[i])=sigma{d[i]*(x-i+1)}=sigma{ d[i]*(x+1) - d[i]*i }=(x+1)*sigma(d[i])-sigma(d[i]*i)

所以我们再用树状数组维护一个数组d2[i]=d[i]*i，即可完成任务。

 

poj3468也可以用树状数组搞：实现功能3

#include <string>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
#define N 100003
using namespace std;

LL a[N];
LL b[N];
LL c[N];
int n,m;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

LL getsum(LL *a,int p)
{
    LL ans=0;
    for(int i=p; i>0; i-=lowbit(i))
        ans+=a[i];
    return ans;
}
void Modify(LL *a,int p,LL c)
{
    for(int i=p; i<=n; i+=lowbit(i))
        a[i]+=c;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            a[i]+=a[i-1];
        char str[19];
        LL L,R,w;
        while(m--)
        {
          scanf("%s",str);
          if(str[0]=='Q')
          {
              scanf("%lld%lld",&L,&R);
              LL ans=a[R]-a[L-1]+(R+1)*getsum(b,R)-L*getsum(b,L-1)-getsum(c,R)+getsum(c,L-1);
              printf("%lld\n",ans);
          }
          else
          {
              scanf("%lld%lld%lld",&L,&R,&w);
              Modify(b,L,w);
              Modify(b,R+1,-w);
              Modify(c,L,L*w);
              Modify(c,R+1,-(R+1)*w);
          }
        }
    }
    return 0;
}