线段树基础与模板与简单应用

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转载最新推荐文章于 2026-06-15 15:09:46 发布 391 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

模板 - 线段树 ACM-ICPC模板懒惰标记一行序列，每次操作把一个区间里的每个数都加上一个数，或者查询一个区间的和。 typedef long long ll; typedef pair<int,int> PII; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int N = 1e5+7; const int M = 2007; struct SegmentTree{ int l,r; ll sum;//总和 ll lz_add;//增量延迟标记阅读详情

线段树

参考自http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3453089.html

线段树，类似区间树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)。

线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父节点的左右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。（父节点从0开始的情况）

由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树，因此线段树是完全二叉树，对于包含n个叶子节点的完全二叉树，它一定有n-1个非叶节点，总共2n-1个节点，因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)。

实现代码

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath> 
    using namespace std;

    const int INFINITE = INT_MAX;
    const int MAXNUM = 1000;
    struct SegTreeNode
    {
        int val;                //something
        int addMark;            //延迟标记
    }segTree[MAXNUM];           //定义线段树


    /*
    功能：构建线段树
    root：当前线段树的根节点下标
    arr: 用来构造线段树的数组  就是叶子节点的值val数组 
    istart：数组的起始位置
    iend：数组的结束位置
    */
    void build(int root,int arr[],int istart,int iend)
    {
        //首先延迟标记初始为0
        segTree[root].addMark = 0;

        //因为是递归，所以有终止条件，就是叶子节点
        if(istart == iend)
            segTree[root].val = arr[istart]; 

        else
        {
            int mid = (istart + iend) / 2;       //找到划分
            build(root*2+1, arr, istart, mid);
            build(root*2+2, arr, mid+1, iend);  

            //根据左右子树的值，更新当前结点的val值  这里是模拟区间最小值 
            segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val); 
        }
    }

    /*
    功能：当前节点的标志域向孩子节点传递
    root: 当前线段树的根节点下标
    */
    void pushDown(int root)
    {
        /*所谓延时标记，就是说我们想要更新某个区间的所有值，那么就到某个区间就好，
        不用去叶子节点逐一更新再逐一回溯。只需要在某中间结点上标记（就更新完毕），那么下次如果要
        访问该结点的叶子节点时，再去更新这些叶子节点(同时取消该结点延时)，就可以了，也就是我们需要的时候
        再更新结点的值*/ 

        if(segTree[root].addMark != 0)
        {
             //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递所以+= 
            segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
            segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;

            //这里是模拟val是区间最小值，所以就要值++
            segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
            segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;

            //传递后把root结点的标记清空
            segTree[root].addMark = 0; 
        }
    }

    /*
    功能：线段树的区间查询
    root：当前线段树的根节点下标
    [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
    [qstart, qend]: 此次查询的区间
    */
    int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
    {
        //查询区间与结点区间没有交集
        if(qend < nstart || qstart > nend) 
            return INFINITE; 

        //当前节点区间完全在查询区间内
        if(qstart <= nstart && qend >= nend)
            return segTree[root].val;

        //有交集，分别在左右子树查询
        pushDown(root);                   //因为涉及到要用子结点的值了，那么延迟的就要更新

        int mid = (nstart + nend) / 2;
        return min(query(root*2+1,nstart,mid,qstart,qend),query(root*2+2,mid+1,nend,qstart,qend));  
    }

    /*
    功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值
    root：当前线段树的根节点下标
    [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
    [ustart, uend]: 待更新的区间
    addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
    */
    void update(int root,int nstart,int nend,int ustart,int uend,int addVal)  //以增加值为例
    {
        //没有交集
        if(ustart > nend || uend < nstart)
            return ;

        //完全在内 
        if(ustart <= nstart && uend >= nend )
        {
            segTree[root].addMark += addVal;     //就跟新这个区间  不往下更新了 延时 
            segTree[root].val += addVal;
            return;
        }

        //涉及到子树了，延迟生效
        pushDown(root);
        //更新左右结点
        int mid = (nstart + nend) / 2;
        update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
        update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);

        //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
    }

线段树应用

描述

Lily特别喜欢养花，但是由于她的花特别多，所以照料这些花就变得不太容易。她把她的花依次排成一行，每盆花都有一个美观值。如果Lily把某盆花照料的好的话，这盆花的美观值就会上升，如果照料的不好的话，这盆花的美观值就会下降。有时，Lily想知道某段连续的花的美观值之和是多少，但是，Lily
的算术不是很好，你能快速地告诉她结果吗?

输入

第一行一个整数T，表示有T组测试数据。
每组测试数据的第一行为一个正整数N (N<=50000)，表示Lily有N盆花。
接下来有N个正整数，第i个正整数ai (1<=ai<=50) 表示第i盆花的初始美观值。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
（1）Add i j, i和j为正整数，表示第i盆花被照料的好，美观值增加j (j<=30)
（2）Sub i j, i和j为正整数，表示第i盆花被照料的不好，美观值减少j (j<=30)
（3）Query i j, i和j为正整数，i<=j，表示询问第i盆花到第j盆花的美观值之和
（4）End，表示结束，这条命令在每组数据最后出现
每组数据的命令不超过40000条

输出

对于第i组数据，首先输出”Case i:”和回车。
对于每个”Query i j”命令，输出第i盆花到第j盆花的美观值之和。

样例输入
1
9
7 9 8 4 4 5 4 2 7
Query 7 9
Add 4 9
Query 3 6
Sub 9 6
Sub 3 3
Query 1 9
End
样例输出
Case 1:
13
30
50

思路

此题为线段树模板题，注意之前的线段树模板是结点存区间最小值，现在换成区间的和即可。
注意线段树的数组开大一点，此题开了4倍。
注意代码中的延迟更新没必要，因为此题是单点更新，其实并没有用到，懒得改模板。

AC代码

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath> 
    #include<cstring>
    using namespace std;

    const int INFINITE = INT_MAX;
    const int MAXNUM = 200010;
    int arr[MAXNUM];
    struct SegTreeNode
    {
        int val;                //something 区间和 
        int addMark;            //延迟标记
    }segTree[MAXNUM];           //定义线段树


    /*
    功能：构建线段树
    root：当前线段树的根节点下标
    arr: 用来构造线段树的数组  就是叶子节点的值val数组 
    istart：数组的起始位置
    iend：数组的结束位置
    */
    void build(int root,int istart,int iend)
    {
        //首先延迟标记初始为0
        segTree[root].addMark = 0;

        //因为是递归，所以有终止条件，就是叶子节点
        if(istart == iend)
            segTree[root].val = arr[istart]; 

        else
        {
            int mid = (istart + iend) / 2;       //找到划分
            build(root*2+1, istart, mid);
            build(root*2+2, mid+1, iend);  

            //根据左右子树的值，更新当前结点的val，区间的和 
            segTree[root].val = segTree[root*2+1].val + segTree[root*2+2].val; 
        }
    }

    /*
    功能：当前节点的标志域向孩子节点传递
    root: 当前线段树的根节点下标
    */
    void pushDown(int root)
    {
    //  cout<<"pushDown"<<endl;
        /*所谓延时标记，就是说我们想要更新某个区间的所有值，那么就到某个区间就好，
        不用去叶子节点逐一更新再逐一回溯。只需要在某中间结点上标记（就更新完毕），那么下次如果要
        访问该结点的叶子节点时，再去更新这些叶子节点(同时取消该结点延时)，就可以了，也就是我们需要的时候
        再更新结点的值*/ 

        if(segTree[root].addMark != 0)
        {
             //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递所以+= 
            segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
            segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;

            //这里是模拟val是区间最小值，所以就要值++
            segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
            segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;

            //传递后把root结点的标记清空
            segTree[root].addMark = 0; 
        }
    }

    /*
    功能：线段树的区间查询
    root：当前线段树的根节点下标
    [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
    [qstart, qend]: 此次查询的区间
    */
    int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
    {
    //  cout<<"query("<<root<<")"<<endl;
        //查询区间与结点区间没有交集
        if(qend < nstart || qstart > nend) 
            return 0; 

        //当前节点区间完全在查询区间内
        if(qstart <= nstart && qend >= nend)
            return segTree[root].val;

        //有交集，分别在左右子树查询
        pushDown(root);                   //因为涉及到要用子结点的值了，那么延迟的就要更新 

        int mid = (nstart + nend) / 2;
        return query(root*2+1,nstart,mid,qstart,qend) + query(root*2+2,mid+1,nend,qstart,qend);  
    }   

    /*
    功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值
    root：当前线段树的根节点下标
    [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
    [ustart, uend]: 待更新的区间
    addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
    */
    void update(int root,int nstart,int nend,int ustart,int uend,int addVal)  //以增加值为例
    {
        //没有交集
        if(ustart > nend || uend < nstart)
            return ;

        //完全在内 
        if(ustart <= nstart && uend >= nend )
        {
            segTree[root].addMark += addVal;     //就跟新这个区间  不往下更新了 延时 
            segTree[root].val += addVal;
            return;
        }

        //涉及到子树了，延迟生效
        pushDown(root);
        //更新左右结点
        int mid = (nstart + nend) / 2;
        update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
        update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);

        //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
        segTree[root].val = segTree[root*2+1].val + segTree[root*2+2].val;
    } 

    int main()
    {
        int T;
        scanf("%d",&T);
        int Case = 1;
        char com[11];
        while(T--)
        {
            printf("Case %d:\n",Case++);
            memset(arr,0,sizeof(arr));
            int n;
            scanf("%d",&n);

            //此模板是的根节点标号是0
            for(int i = 0; i < n ;i ++)
                scanf("%d",&arr[i]);

            build(0,0,n-1);

    //      for(int i=0;i<=17;i++)
    //          cout<<segTree[i].val<<" ";

            int i,j;
            while(scanf("%s",com),com[0] != 'E')
            {   
                scanf("%d%d",&i,&j);
                if(com[0] == 'A')
                {
                    update(0,0,n-1,i-1,i-1,j);
                }

                else if(com[0] == 'S')
                {
                    update(0,0,n-1,i-1,i-1,-j);
                }

                else if(com[0] == 'Q')
                {
                    int ans = query(0,0,n-1,i-1,j-1);
                    printf("%d\n",ans);
                }           
            }
        }
        return 0;
    }