每天一道剑指offer-整数中1出现的次数-优快云博客

整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

解析

遍历一遍不就完了吗

当然，你可从1遍历到n，然后将当前被遍历的到的数中1出现的次数累加到结果中可以很容易地写出如下代码：

public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {	
    if(n &lt; 1){	
        return 0;	
    }	
    int res = 0;	
    for(int i = 1 ; i &lt;= n ; i++){	
        res += count(i);	
    }	
    return res;	
}	
public int count(int n){	
    int count = 0;	
    while(n != 0){	
        //取个位	
        count = (n % 10 == 1) ? ++count : count;	
        //去掉个位	
        n /= 10;	
    }	
    return count;	
}

但n多大就会循环多少次，这并不是面试官所期待的，这时我们就需要找规律看是否有捷径可走

不用数我也知道

以 51234这个数为例，我们可以先将 51234划分成 1~1234（去掉最高位）和 1235~51234两部分来求解。下面先分析 1235~51234这个区间的结果：

所有的数中，1在最高位（万位）出现的次数
对于 1235~51234，最高位为1时（即万位为1时）的数有 10000~19999这10000个数，也就是说1在最高位（万位）出现的次数为10000，因此我们可以得出结论：如果最高位大于1，那么在最高位上1出现的次数为最高位对应的单位（本例中为一万次）；但如果最高位为1，比如 1235~11234，那么次数就为去掉最高位之后的数了， 11234去掉最高位后是 1234，即1在最高位上出现的次数为 1234
所有的数中，1在非最高位上出现的次数
我们可以进一步将 1235~51234按照最高位的单位划分成4个区间（能划分成几个区间由最高位上的数决定，这里最高位为5，所以能划分5个大小为一万子区间）：

1235~11234
11235~21234
21235~31234
31235~41234
41235~51234
而每个数不考虑万位（因为1在万位出现的总次数在步骤1中已统计好了），其余四位（个、十、百、千）取一位放1（比如千位），剩下的3位从 0~9中任意选（ 10*10*10），那么仅统计1在千位上出现的次数之和就是： 5(子区间数)*10*10*10，还有百位、十位、个位，结果为： 4*10*10*10*5。
因此非高位上1出现的总次数的计算通式为： (n-1)*10^(n-2)*十进制最高位上的数（其中 n为十进制的总位数）
于是 1235~51234之间所有的数的所有的位上1出现的次数的综合我们就计算出来了

剩下 1~1234，你会发现这与 1~51234的问题是一样的，因此可以做递归处理，即子过程也会将 1~1234也分成 1~234和 235~1234两部分，并计算 235~1234而将 1~234又进行递归处理。

而递归的终止条件如下：

如果 1~n中的 n： 1<=n<=9，那么就可以直接返回1了，因为只有数1出现了一次1
如果 n==0，比如将 10000划分成的两部分是 0~0(10000去掉最高位后的结果)和 1~10000，那么就返回0

public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {	
    if(n &lt; 1){	
        return 0;	
    }	
    return process(n);	
}	
public int process(int n){	
    if(n == 0){	
        return 0;	
    }	
    if(n &lt; 10 &amp;&amp; n &gt; 0){	
        return 1;	
    }	
    int res = 0;	
    //得到十进制位数	
    int bitCount = bitCount(n);	
    //十进制最高位上的数	
    int highestBit = numOfBit(n, bitCount);	
    //1、统计最高位为1时，共有多少个数	
    if(highestBit &gt; 1){	
        res += powerOf10(bitCount - 1);	
    }else{	
        //highestBit == 1	
        res += n - powerOf10(bitCount - 1) + 1;	
    }	
    //2、统计其它位为1的情况	
    res += powerOf10(bitCount - 2) * (bitCount - 1) * highestBit;	
    //3、剩下的部分交给递归	
    res += process(n % powerOf10(bitCount - 1));	
    return res;	
}	
//返回10的n次方	
public int powerOf10(int n){	
    if(n == 0){	
        return 1;	
    }	
    boolean minus = false;	
    if(n &lt; 0){	
        n = -n;	
        minus = true;	
    }	
    int res = 1;	
    for(int i = 1 ; i &lt;= n ; i++){	
        res *= 10;	
    }	
    return minus ? 1 / res : res;	
}	
public int bitCount(int n){	
    int count = 1;	
    while((n /= 10) != 0){	
        count++;	
    }	
    return count;	
}	
public int numOfBit(int n, int bit){	
    while(bit-- &gt; 1){	
        n /= 10;	
    }	
    return n % 10;	
}

笔者曾纠结，对于一个四位数，每个位上出现1时都统计了一遍会不会有重复，比如 11111这个数在最高位为1时的 10000~19999统计了一遍，在统计非最高位的其他位上为1时又统计了4次，总共被统计了5次，而这个数1出现的次数也确实是5次，因此没有重复。

出自：http://www.zhenganwen.top

已获授权