Hdu 1573 X问题

大意不再赘述。

思路：扩展欧几里得算法。

注意，题目要求的是正整数的个数，不包括0。

注意两种情况无解（解为0），一是c % d != 0，二是a > n。

令R数组中所有数的最小公倍数是lcm，方程在lcm范围内的+非负整数解是a，则有a + lcm*x <= n，若a != 0，则解得结果是x，否则为x-1（0不是正整数）

其中两个方程合并的结果为：C' ≡ C（mod B）,B = lcm(R1,R2,R3,R4...,Rn);

所以C' = B*x + C，若lcm内的最小整数解为a，则所有的整数解为a + k*B (k = 0,1,2,3...)

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef __int64 LL;

const int MAXN = 110;

LL n;

int m;

LL lcm;

LL A[MAXN], R[MAXN];

LL gcd(LL a, LL b)
{
	return !b ? a : gcd(b, a%b);
}

void ex_gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
	if(!b) { d = a; x = 1; y = 0;}
	else { ex_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b);}
}

void read_case()
{
	lcm = 1;
	scanf("%I64d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		scanf("%I64d", &A[i]);
		lcm = lcm / gcd(lcm, A[i]) * A[i];
	}
	for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%I64d", &R[i]);
}

void solve()
{
	read_case();
	LL a, b, c, d, x, y;
	for(int i = 2; i <= m; i++)
	{
		a = A[1], b = A[i], c = R[i]-R[1];
		ex_gcd(a, b, d, x, y);
		if(c % d) { printf("0\n"); return ;}
		x *= c / d;
		LL b1 = b / d;
		x = (x%b1 + b1) % b1;
		R[1] = A[1]*x + R[1];
		A[1] = A[1] / d * A[i];
	}
	LL ans = 0;
	if(R[1] <= n) ans = 1 + (n-R[1]) / lcm;
	if(ans && R[1] == 0) ans--; //特判结果为R[1]为0时，应该是x-1. 
	printf("%I64d\n", ans);
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}